Comportement en temps long d'équations cinétiques avec effets de bord

Long-Time Behavior of Kinetic Equations with Boundary Effects

• Auteur / Autrice : Armand Bernou
• Direction : Nicolas Fournier, Stéphane Mischler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 18/12/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Delphine Salort
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Golse, Hélène Guérin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Florent Malrieu, Bertrand Lods

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations cinétiques

Markov, Processus de

Théorie du transport

Mots clés libres

Transport libre

Convergence sous-géométrique

Hypocoercivité

Processus markoviens

Équations cinétiques

Conditions de Maxwell

Maxwell boundary condition

Hypocoercivity

Subgeometric convergence towards equilibrium

Résumé

Cette thèse est dédiée à l'étude du comportement en temps long de plusieurs équations aux dérivées partielles, issues de la théorie cinétique, pour lesquelles, informellement, un équilibre vers lequel la solution converge existe. Nous utilisons des méthodes probabilistes et déterministes pour obtenir le taux de convergence associé. Ce travail est divisé en trois parties. Dans la première, nous étudions un modèle de transport libre à l'intérieur d'un domaine borné, avec la condition au bord de Maxwell déjà considérée par Aoki et Golse et Kuo et al.. Nous étendons le taux (quasi) optimal 1/t^d, où d est la dimension du problème, au cas de domaines réguliers généraux, sans l'hypothèse de symétrie nécessaire dans les travaux précédents. On utilise deux méthodes différentes: un couplage probabiliste dans le Chapitre 2, qui nous permet de traiter des versions généralisées de la condition de bord, et un théorème de Harris sous-géométrique déterministe dans le Chapitre 4, qui permet notamment de traiter le cas où la température varie au bord. Au Chapitre 3, nous présentons des simulations numériques qui viennent à l'appui de nos résultats, selon lesquels le taux polynomial observé quand le domaine spatial est symétrique doit aussi s'appliquer à des domaines non symétriques réguliers. Dans la seconde partie de cette thèse, on s'intéresse à la convergence sous-géométrique vers la distribution invariante de processus de Markov. On présente un nouvel ensemble de conditions, proches de celles de Douc, Fort et Guillin et de Hairer, à partir desquelles l'on peut déduire la convergence sous-exponentielle d'un processus de Markov fort. Un point particulièrement intéressant est que ces nouvelles conditions sont équivalentes, comme dans le cas de la théorie pour les taux exponentielles de Meyn et Tweedie, et contrairement aux conditions pré-existantes. Dans la dernière partie, on étudie des modèles de cinétique collisionnelle, en particulier l'équation de Boltzmann linéarisée et l'équation de Landau linéarisée dans un domaine borné régulier. On prouve des estimées d'hypocoercivité constructives dans L² pour la condition de Maxwell généralisée au bord, qui inclut la cas de la réflexion spéculaire. Ces estimées permettent de conclure à la relaxation exponentielle vers l'équilibre de ces modèles.

This thesis studies the long-time behavior of several partial differential equations arising in kinetic theory.Those equations have an equilibrium towards which, roughly, some solution converges.We employ both probabilistic and deterministic methods to derive the rate of this convergence. This work is divided into three parts.In the first one, we study the free-transport equation enclosed in a bounded domain with Maxwell boundary condition,as already considered by Aoki and Golse and Kuo et al.. We extend the (almost) optimal rate 1/t^d, where d is the dimension of the problem,to the case of a general regular domain, without the symmetry assumption required in earlier works.We use two different methods: a probabilistic coupling in Chapter 2, allowing us to generalize the boundary condition,and a deterministic version of some subgeometric Harris' theorem in Chapter 4, with which we can consider the case where the temperature varies at the boundary.In Chapter 3 we provide some numerical evidences supporting our result that the polynomial rate of convergence observed in the case where the spatial domain is symmetric should extend to non-symmetric, regular domains.In the second part of this thesis, we focus on the subgeometric convergence towards the invariant distribution of Markov processes.We exhibit a new set of conditions, close in spirit to the ones of Douc, Fort and Guillin and Hairer, leading to the subgeometric convergence of a strong Markov process.Our conditions are chosen in order to be equivalent, as in the exponential theory of Meyn and Tweedie, whereas only one implication holds in the usual set of conditions.In the last part, we study collisional kinetic models, namely the linearized Boltzmann and linearized Landau equations, enclosed in a regular, bounded domain.We prove constructive L² hypocoercivity estimates for the generalized Maxwell boundary condition, which includes the case of the specular reflection boundary condition.With those estimates, one concludes to the exponential relaxation towards equilibrium for those models.