Méthodes numériques pour la résolution des problèmes direct et inverse en tomographie par impédance électrique

Numerical methods for the resolution of the forward and the inverse problems for Electrical Impedance Tomography

• Auteur / Autrice : Arrianne Crystal Velasco
• Direction : Marion Darbas, Renier Mendoza
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/10/2020
• Etablissement(s) : Amiens
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée
• Jury : Président / Présidente : Olivier Goubet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marion Darbas, Renier Mendoza, Yves Coudière, Juliette Leblond, Nabil Bedjaoui, Stéphanie Lohrengel, Youcef Mammeri
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yves Coudière, Juliette Leblond

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problèmes inverses

Équations différentielles -- Solutions numériques

Métaheuristiques

Mots clés libres

Modèle d'électrode complète

Algorithmes heuristiques

Analyse de sensibilité

Inverse problem

Electrical impedance tomography

Complete electrode model

Heuristic algorithms

Sensitivity analysis

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions la tomographie par impédance électrique (EIT) du point de vue théorique et numérique. Mathématiquement, cela consiste à résoudre un problème direct et un problème inverse. Le problème direct permet de calculer les valeurs du potentiel électrique aux électrodes. Ces valeurs représentent les données pour le problème inverse : la reconstruction de la distribution de conductivité dans le domaine. Le modèle d'électrode complet (CEM) modélise avec précision les phénomènes d'interface électrode/tissu. Nous étudions en détail ce modèle et sa résolution numérique par éléments finis. De plus, afin de comprendre l'influence de la conductivité et de l'impédance de contact des électrodes sur le potentiel électrique, nous menons une analyse de sensibilité rigoureuse du problème direct. Le problème inverse est, quant à lui, formulé comme un problème de minimisation d'une fonctionnelle-coût représentant la différence entre les tensions mesurées et prédites aux électrodes. L'applicabilité de différents algorithmes métaheuristiques en tant que stratégie d'optimisation pour le problème de reconstruction est proposée. Des simulations numériques sont effectuées pour comparer leur efficacité. Enfin, nous nous intéressons à la modélisation des électrodes pour l'électroencéphalographie (EEG). Pour traiter la singularité du terme source, l'approche de soustraction est proposée. Nous démontrons un résultat d'existence et d'unicité

In this thesis, we study from a theoretical and a numerical point of view the Electrical Impedance Tomography (EIT). Mathematically, it consists of solving two problems: a forward one and an inverse one. The forward problem gives the boundary voltages at the electrodes which are the data needed for the inverse problem - reconstruction of the conductivity distribution in the domain. The Complete Electrode Model (CEM) accurately models the electrodes and their shunting effects in real-life applications. We focus our research on the CEM forward model for EIT and we study its analytical and numerical solution for different configurations. Furthermore, in order to understand the influence of both the conductivity and the contact impedance of the electrodes on the electric potential, we propose a rigorous sensitivity analysis of the CEM forward problem. Next, the inverse problem is formulated as the minimization of a cost function representing the difference between the measured and predicted voltages. The applicability of metaheuristic algorithms as optimization strategies for the reconstruction problem is addressed. Numerical simulations are done to compare their efficiency. Finally, we are interested in modeling the electrodes for Electroencephalography (EEG) using CEM. In order to deal with the singularity in the source term, the subtraction approach is applied. The existence and uniqueness of the solution for the CEM forward problem is proven