Factorisation des opérateurs différentiels en caractéristique positive

par Raphaël Pages

Projet de thèse en Mathématiques Pures

Sous la direction de Xavier Caruso et de Alin Bostan.

Thèses en préparation à Bordeaux , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique , en partenariat avec IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux (laboratoire) et de Théorie des nombres (equipe de recherche) depuis le 14-09-2020 .


  • Résumé

    L'objectif principal de la thèse est de concevoir et d'implémenter des algorithmes efficaces (si possible quasi-optimaux) pour la réduction des systèmes différentiels linéaires sur une courbe algébrique définie sur un corps de caractéristique positive, typiquement un corps fini. Pour ce faire, l'approche proposée passe par des algorithmes rapides de factorisation des opérateurs différentiels. À cette fin, il sera demandé au candidat de dégager et d'étudier les propriétés fines de l'algèbre (non commutative) des opérateurs différentiels linéaires. Une attention particulière sera portée à la propriété d'Azuyama qui sera la clé pour ramener la factorisation non commutative précédente à une factorisation classique dans un anneau de polynômes. Si le temps le permet, le candidat sera ensuite invité à considérer le cas des opérateurs différentiels à plusieurs variables (en lien avec les équations aux dérivées partielles) et à proposer dans ce contexte de nouveaux algorithmes de calcul de bases de Gröbner, inspirées des méthodes qui auront été introduites dans la première partie de la thèse.

  • Titre traduit

    Factorisation of differential operators in positive characteristic


  • Résumé

    The main objective of the thesis is to design and implement efficient algorithms (quasi-optimal if possible) for the reduction of linear differential systems on an algebraic curve defined on a field of positive characteristic, typically a finite field. To this purpose, the proposed approach uses fast algorithms of factorisation of differential operators. In order to accomplish this, the candidate will be asked to uncover and study the fine properties of the (noncommutative) algebra of linear differential operators. The candidate will pay a special attention to the Azuyama property which will hold the key to reduce the non commutative factorisation to a more classical one in a polynomial ring. If time permits, the candidate may then consider the case of multivariate differential operators (related to partial differential equations) and propose in this context new algorithms for Gröbner basis computation, inspired by the methods introduced in the first part of the thesis.