Les semigroupes markoviens sur des groupes quantiques et leur application en information quantique.

par Purbayan Chakraborty

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Uwe Franz.

Thèses en préparation à Bourgogne Franche-Comté , dans le cadre de École doctorale Carnot-Pasteur , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques de Besançon (laboratoire) depuis le 11-10-2019 .


  • Résumé

    Nous travaillerons sur des problèmes à l'intersection des probabilités quantiques, des groupes quantiques et de la théorie de l'information quantique (QIT). le La probabilité quantique et la théorie des groupes quantiques sont des exemples de mathématiques non commutatives dans lesquelles on part d'une classe d'algèbre commutative avec une structure supplémentaire (l'algèbre de variables aléatoires sur un espace de probabilité, ou l'algèbre). fonctions continues ou mesurables sur des groupes localement compacts) et il est généralement une classe d'algèbres non commutatives ayant une structure supplémentaire similaire, qui contient la classe d'origine comme cas particulier. La théorie de l'information quantique est motivée par les besoins des nouvelles technologies telles que la communication quantique, la cryptographie l'informatique quantique et l'informatique quantique. Les applications totalement positives (CP) et leurs semi-groupes sont les objets de base à à la fois en probabilités quantiques et en QIT. Cependant, notre compréhension est limitée lorsque il est comparé à la pléthore de résultats disponibles pour les semi-groupes de Markov classiques sur les algèbres commutatives. QIT fait à l'origine partie de la physique, mais ses aspects quantique et non commutatif nécessitent des outils mathématiques sophistiqués. L'interaction entre QIT et l'analyse matricielle et les algèbres des opérateurs ont une longue et fructueuse histoire. C'est un exemple frappant de un domaine qui a fourni une riche source d'inspiration pour les mathématiciens et, à l'inverse, où des mathématiciens fondamentaux (et appliqués) ont été utiles en dehors du domaine des mathématiques. le probabilités quantifiées, analyse harmonique non commutative, algèbres des opérateurs et Les systèmes opérateur ont été largement utilisés dans QIT ces dernières années. Les groupes jouent divers rôles importants dans QIT, par exemple dans la classification l'enchevêtrement multipartite et dans la construction et l'étude de canaux quantiques. Certains les applications de la théorie des groupes sur QIT sont maintenant étendues à la théorie quantique. et de nouvelles approches véritablement quantiques sont à l'étude. B.V.R. Bhat et Uwe Franz travaillent sur une nouvelle caractérisation de Semi-groupes d'applications CP utilisant des opérateurs Weyl discrets. Groupes de type centraux sont des groupes finis équipés de 2-cocycles t.q. l'algèbre torsadée $ mathbb {C} G ^ psi $ est isomorphe à $ M_N ( mathbb {C}) $. Ils fournissent des bases de $ M_N ( mathbb {C}) $ composées d'unités, similaires aux opérateurs de Weyl discret. Le premier projet sera la généralisation du travail de B.V.R. Bhat et Uwe Franz à ces groupes. Cela permettra également d'étudier les applications du CP, la cohomologie de Hochschild et la théorie des bigebras. Ces sujets seront essentiels pour la poursuite des travaux sur semigroupes de Markov quantiques, les processus quantiques de L'evy et leurs applications au QIT.

  • Titre traduit

    The Markov semigroups on quantum groups and its application to quantum information.


  • Résumé

    We will work on issues at the intersection of quantum probabilities, quantum groups and quantum information theory (QIT). The Quantum Probability and Quantum Group Theory are examples of non commutative mathematics in which one starts from a class of commutative algebra with an additional structure (the algebra of random variables over a probability space, or the algebra continuous or measurable functions on locally compact groups) and it is generally a class of non-commutative algebras having a similar additional structure, which contains the original class as a special case. The theory of quantum information is motivated by the needs of new technologies such as quantum communication, cryptography quantum computing and quantum computing. Completely Positive maps (CPs), and their semi-groups, are the basic objects to both in quantum probabilities and in QIT. However, our understanding is limited when it is compared to the plethora of results available for classic Markov semigroups on commutative algebras. QIT is originally part of physics, but its quantum and noncommutative aspects require sophisticated mathematical tools. The interaction between QIT and matrix analysis and the operators' algebras has a long and fruitful history. This is a striking example of a a field that has provided a rich source of inspiration for mathematicians and, conversely, where fundamental (and applied) mathematicians have been useful outside the realm of mathematics. The quantized probabilities, non-commutative harmonic analysis, operator algebras and Operator systems have been widely used in QIT in recent years. Groups play various important roles in QIT, for example in the classification multipartite entanglement and in the construction and study of quantum channels. Some applications of the group theory on QIT are now extended to quantum and new, truly quantum approaches are under study. B.V.R. Bhat and Uwe Franz are working on a new characterization of CP application semi-groups using discrete Weyl operators. Type groups central are finished groups equipped with 2-cocycles t.q. the twisted algebra $mathbb{C}G^psi$ is isomorphic to $M_N(mathbb {C})$. They provide bases of $M_N(mathbb{C})$ composed of units, similar to the operators of discreet Weyl. The first project will be the generalization of the work of B.V.R. Bhat and Uwe Franz to these groups. This will also allow to study CP applications, Hochschild cohomology and the theory of bigebras. These topics will be essential for the continuation of the work on quantum Markov semigroups, the quantum L'evy processes and their applications to the QIT.