Catégorification quantique et invariants non-semi-simples

par Steven Devaux

Projet de thèse en Mathématiques et Modélisation

Sous la direction de Stéphane Baseilhac et de Hoel Queffelec.

Thèses en préparation à Montpellier , dans le cadre de École Doctorale Information, Structures, Systèmes , en partenariat avec IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (laboratoire) et de GTA - Equipe de Géométrie, Topologie et Algèbre. (equipe de recherche) depuis le 01-10-2019 .


  • Résumé

    Le programme de catégorification occupe depuis une quinzaine d'années une place centrale dans la recherche en topologie, algèbre quantique et physique mathématique. Deux directions majeures se dégagent : l'une repose sur l'homologie de Khovanov, la seconde sur l'homologie de Heegaard-Floer. L'homologie de Khovanov s'inscrit largement dans le cadre des invariants quantiques tels que développés par Witten, Reshetikhin et Turaev à la fin des années 80 et reposant sur les théories des champs quantiques de Chern-Simons. Pour le moment cependant, les homologies quantiques développées depuis le début des années 2000 n'ont jamais, à de rares exceptions près, dépassé le cadre de la sphère : l'extension à une 3-variété quelconque, et plus encore le développement d'une théorie quantique des champs en dimension 3+1, restent un objectif majeur du programme de catégorification. Les méthodes géométriques qui sous-tendent l'homologie de Heegaard-Floer en font par contre naturellement un invariant de 3-variétés, mais le lien qu'entretient cette théorie avec les groupes quantiques et leurs catégorifications est par contre plus ténu. Plusieurs avancées récentes permettent cependant de rapprocher ces deux théories, avec le formalisme à la Reshetikhin-Turaev développé par Petkova-Vertesi et les invariants non-semi-simples de Blanchet-Costantino-Geer-Patureau-Mirand. Le sujet de cette thèse sera d'établir le lien avec les groupes quantiques catégorifiés pour systématiser l'approche à la Reshetikhin-Turaev aux invariants catégoriques provenant de l'homologie de Heegaard-Floer.

  • Titre traduit

    Quantum categorification and non-semisimple invariants


  • Résumé

    The categorification program has been central for the last 15 years in topology, quantum algebra and mathematical physics. Two main directions emerge: one based on Khovanov homology, one on Heegaard-Floer homology. Khovanov homology fits in the larger framework of quantum invariants as developed by Witten, Reshetikhin and Turaev at the end of the 80's, based on the Chern-Simons quantum field theories. Until now though, the quantum homologies developed since 2000 have never, up to rare exceptions, reached beyond the case of the 3-sphere: extension to general 3-manifolds, and even better the development of a quantum field theory in dimension 3+1, remain a major goal of the categorification program. On the other hand, the geometric methods that are at play in Hegaard-Floer homology make it a natural 3-manifold invariant, but the link that this theory enjoys with the quantum groups and their categorifications is much thinner. Yet, several recent progresses allow to bring closer these two theories, using Petkova-Vertesi formalism à la Reshetikhin-Turaev and Blanchet-Costantino-Geer-Patureau-Mirand non-semi-simples invariants. The aim of this PhD work will be to establish the link with categorified quantum groups to system the Reshetikhin-Turaev-like approach to categorical invariants originating in Heegaard-Floer homology.