Systèmes linéaires sur les variétés symplétiques holomorphes irréductibles

Linear systems on irreducible holomorphic symplectic manifolds

• Auteur / Autrice : Simone Novario
• Direction : Samuel Boissière, Lambertus Nicolaas Maria van Geemen
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/12/2021
• Etablissement(s) : Poitiers en cotutelle avec Università degli studi (Milan, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges ; 2018-2022)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers) - Laboratoire de Mathématiques et Applications / LMA-Poitiers
• Partenaire(s) de recherche : faculte : Université de Poitiers. UFR des sciences fondamentales et appliquées
• Jury : Président / Présidente : Alessandra Sarti
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Samuel Boissière, Lambertus Nicolaas Maria van Geemen, Arvid Perego, Alice Garbagnati, Paola Frediani
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Klaus Hulek, Gianluca Pacienza

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cycles algébriques

Groupes d'automorphismes

Hilbert, Schémas de

Variétés symplectiques

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Géométrie algébrique

Schéma de Hilbert de n points

Variétés symplectiques holomorphes irréductibles

Classes de Hodge

Double sextiques EPW

Surfaces K3

Opérateurs de Nakajima

Systèmes linéaires

Involutions anti-Symplectiques

Algebraic geometry

Hilbert schemes of n points

Irreducible holomorphic symplectic manifolds

Hodge classes

Double EPW sextics

K3 surfaces

Nakajima operators

Linear systems

Anti-Symplectic involutions

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions certains systèmes linéaires complets associés aux diviseurs des schémas de Hilbert de 2 points sur dedes surfaces K3 projectives complexes avec groupe de Picard de rang 1, et les fonctions rationnelles induites. Ces variétés sont appelées carrés de Hilbert sur des surfaces K3 génériques, et sont un exemple de variété symplectique holomorphe irréductible (variété IHS).Dans la première partie de la thèse, en utilisant la théorie des réseaux, les opérateurs de Nakajima et le modèle de Lehn–Sorger, nous donnons une base pour le sous-espace vectoriel de l’anneau de cohomologie singulière à coefficients rationnels engendré par les classes de Hodge rationnels de type (2, 2) sur le carré de Hilbert de toute surface K3 projective.Nous exploitons ensuite un théorème de Qin et Wang ainsi qu’un résultat de Ellingsrud, Göttsche et Lehn pour obtenir une base du réseau des classes de Hodge intégraux de type (2, 2) sur le carré de Hilbert d’une surface K3 projective quelconque. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions le problème suivant : si X est le carré de Hilbert d’une surface K3 générique tel que X admet un diviseur ample D avec qX(D) = 2, où qX est la forme quadratique de Beauville– Bogomolov–Fujiki, on veut décrire géométriquement la fonction rationnelle induite par le système linéaire complet |D|.Le résultat principal de la thèse montre qu’une telle X, sauf dans le cas du carré de Hilbert d’une surface quartique générique de P3, est une double sextique EPW, c’est-à-dire le revêtement double d’une sextique EPW, une hypersurface normale de P5, ramifié sur son lieu singulier. En plus la fonction rationnelle induite par |D| est exactement ce revêtement double. Les outils principaux pour obtenir ce résultat sont la description des classes de Hodge intégraux de type (2, 2) de la première partie de la thèse et l’existence d’une involution anti-symplectique sur de telles variétés par un théorème de Boissière, Cattaneo, Nieper-Wißkirchen et Sarti.

In this thesis we study some complete linear systems associated to divisors of Hilbert schemes of 2 points on complex projective K3 surfaces with Picard group of rank 1, together with the rational maps induced. We call these varieties Hilbert squares of generic K3 surfaces, and they are examples of irreducible holomorphic symplectic (IHS) manifold.In the first part of the thesis, using lattice theory, Nakajima operators and the model of Lehn–Sorger, we give a basis for the subvector space of the singular cohomology ring with rational coefficients generated by rational Hodge classes of type (2, 2) on the Hilbert square of any projective K3 surface. We then exploit a theorem by Qin and Wang together with a result by Ellingsrud, Göttsche and Lehn to obtain a basis of the lattice of integral Hodge classes of type (2, 2) on the Hilbert square of any projective K3 surface. In the second part of the thesis we study the following problem: if X is the Hilbert square of a generic K3 surface admitting an ample divisor D with qX(D) = 2, where qX is the Beauville–Bogomolov–Fujiki form, describe geometrically the rational map induced by the complete linear system |D|.The main result of the thesis shows that such an X, except on the case of the Hilbert square of a generic quartic surface of P3, is a double EPW sextic, i.e., the double cover of an EPW sextic, a normal hypersurface of P5, ramified over its singular locus. Moreover, the rational map induced by |D| is a morphism and coincides exactly with this double covering. The main tools to obtain this result are the description of integral Hodge classes of type (2, 2) of the first part of the thesis and the existence of an anti-symplectic involution on such varieties due to a theorem by Boissière, Cattaneo, Nieper-Wißkirchen and Sarti.