Study of combinatorial statistics and their impact on evolutionary optimization

Étude de statistiques combinatoires et de leur impact en optimisation évolutionnaire

• Auteur / Autrice : Carine Khalil
• Direction : Vincent Vajnovszki, Jean-Luc Baril, Wahabou Abdou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 12/11/2021
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur et microtechniques (Besançon ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Informatique de Bourgogne (LIB) (Dijon)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-....)
• Jury : Président / Présidente : Hamamache Kheddouci
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christelle Bloch, Phan-Thuan Do, Vlady Ravelomanana
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Hamamache Kheddouci, Kondo Hloindo Adjallah

Mots clés

Mots clés contrôlés

Codage

Problème de Lehmer

Mots clés libres

Combinatoire

Optimisation evolutionaire

Statistiques combinatoire

Algorithme genetique

Combinatorics

Evolutionary optimization

Combinatorial statistics

Genetic algorithm

Résumé

Ces travaux de thèse portent sur l'étude des objets combinatoires, à la fois d'un point de vue algorithmique et combinatoire. Nous nous occupons d'abord, dans la partie combinatoire, de l'énumération des mots de Catalan en évitant les paires de motifs de longueur trois, en présentant les preuves de chaque cas avec différentes méthodes d'énumération. Les mots de Catalan sont des mots particuliers à croissance restreinte comptés par la séquence entière éponyme. Plus précisément, nous explorons systématiquement les propriétés structurelles des ensembles de mots considérés et donnons des résultats d'énumération par bijections constructives ou par des fonctions génératrices bivariées par rapport à la longueur et au nombre de descentes. Ensuite, nous étudions une machine de tri à deux piles en séries où la première pile évite une paire de motifs de longueur 3. Ce tri résulte d'un algorithme glouton puisqu'on réalise à chaque étape la première opération possible. Dans cette thèse, nous nous intéressons en particulier aux machines de tri pour lesquelles les permutations triables sont comptées par les nombres de Catalan et les nombres de Schröder. Pour chaque classe de ces permutations, nous donnons une caractérisation en termes de motifs exclus ce qui nous permet de fournir des résultats exacts d'énumération. Dans la seconde partie, plus expérimentale, nous étudions l'optimisation des problèmes de permutations avec des algorithmes génétiques. Différents types de codage de solutions sont mis en œuvre pour étudier la transmission de certaines propriétés génétiques dans les problèmes de permutations. En particulier, nous étudions le code de Lehmer, les tables d'inversion, les tableaux de transposition et les tableaux de transposition inverses. Le codage des solutions décrit la manière dont les variables de décision sont représentées. Les codages indirects ne sont pas sensibles aux doublons, cependant ils conduisent à une perte des propriétés génétiques lors des croisements. Cette contribution propose une étude de l'impact de cette perte à la fois dans l'espace des variables de décision et dans celui des valeurs des fonctions objectifs considérant les quatre codages indirects. De plus, après avoir analysé l'utilisation des codages indirects code de Lehmer et tableaux de transposition inverses, une préservation de schémas après le processus de croisement a retenu notre attention. Une adaptation sur l'opérateur de croisement a été réalisée afin de pouvoir conserver le préfixe/suffixe et d'appréhender son influence sur la transmission des propriétés génétiques.

This thesis studies combina­­­torial objects, with both an algorithmic and a combinatorial point of view. In the combinatorial part, we take care first, the enumeration of Catalan words avoiding pairs of patterns of length three, presenting the proofs of each case with various enumeration methods. Catalan words are particular growth-restricted words counted by the eponymous integer sequence. More precisely­­­­, we systematically explore the structural properties of the sets of words under consideration and give enumerating results by constructive bijections or bivariate generating functions with respect to the length and descent number. Then, we study a sorting machine using two stacks in series where the first one avoids a pair of patterns of length three. The process consists of a right-greedy algorithm since we apply at each step the first possible transformation. In this dissertation, we primarily focus on the machines which sort a set of permutations enumerated by Catalan and Schroder numbers. For each class of such permutations, we give a characterization in terms of avoiding patterns which allow us to provide the exact enumeration. In the second part, being more experimental, we studied the optimization of permutation problems with genetic algorithms. Different kinds of encoding of the solutions have been considered to study the transmission of genetic properties in permutation problems. In particular, we used the Lehmer code, inversion table encoding, transposition array encoding, and inverse transposition array encoding during the process. Solution encoding describes the way decision variables are represented. Since indirect encodings are not sensitive to duplicates, they lead to a loss of genetic properties during crossbreeding. This contribution proposes a study of the impact of this loss both in the space of decision variables and in that of objective functions considering the four indirect encodings. In addition, after analyzing that the use of the Lehmer code and inverse transposition array preserve schemata after the recombination process, we proposed an adaptive crossover operator in order to be able to keep the prefix/suffix in order to see its influence on the transmission of genetic properties.