Bords métriques mesurés

par Tom Ferragut

Projet de thèse en Mathématiques et Modélisation

Sous la direction de Constantin Vernicos et de Jérémie Brieussel.

Thèses en préparation à Montpellier , dans le cadre de I2S - Information, Structures, Systèmes , en partenariat avec IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (laboratoire) et de GTA - Equipe de Géométrie, Topologie et Algèbre. (equipe de recherche) depuis le 30-09-2018 .


  • Résumé

    La notion de convergence d'espaces metriques probabilises est un outil important de geometrie. Pourtant de telles convergences n'ont que peu ete etudiees en theorie geometrique des groupes (hormis le cas tres specifique des theoremes de limite centrale dans les groupes a croissance polynomiale). Une telle etude est un projet tres vaste puisqu'on l'on doit choisir les espaces (boules, spheres, suites de Folner...), les distances (intrinseques ou extrinseque sur les sphere), et les mesures (comptage, distribution de marche aleatoires...). Le but de la these proposee est d'utiliser de telles convergences pour construire des bords de groupes. On aimerait reinterpreter des bords bien connus (visuel, Floyd, Martin, Poisson) ou construire de nouvelles notions. Les bords des groupes sont souvent utilises pour obtenir des resultats de rigidite (caracterisation de groupes a quasi-isometrie pres). Par exemple, Gerasimov et Potyagailo ont utilise le bord de Floyd pour montrer que l'hyperbolicite relative est invariante par quasi-isometrie. Un objectif de cette these pourrait etre de construire une bonne notion de bord permettant de redemontrer la rigidite du groupe de Lie Sol et du groupe d'allumeur de reverbere, due a Eskin-Fisher-Whyte (2006-2012). La methode de ces derniers utilise en effet des outils ad-hoc de differentiation grossiere. Il est probable que ces outils (d'usage tres technique) puissent etre remplacees par une bonne notion de compactification metrique mesuree, par exemple un analogue du bord de Floyd ou l'on remplacerait les boules par des ensembles de Folner. Une meilleure comprehension de la rigidite de ces groupes est motivee par la conjecture suivante qui s'inscrit dans un vaste programme de classification des groupes a quasi-isometrie pres. Si un groupe de type fini Gamma est quasi-isometrique a un groupe de Lie resoluble G, alors Gamma est virtuellement un reseau d'un groupe de Lie resoluble G'. De maniere equivalente, la conjecture assure qu'un groupe quasi-isometrique a un groupe polycyclique est virtuellement polycyclique. Le resultat de Eskin-Fisher-Whyte assure que la conjecture est vraie pour des groupes metabelian ayant une abelianisation de rang 1. Une nouvelle preuve (ou du moins une conceptualisation de leur preuve) pourrait permettre d'aborder d'autres cas.

  • Titre traduit

    Metric measured boundaries


  • Résumé

    The aim of this thesis is the asymptotic study of groups.