Modèles géométriques et applications aux matériaux supports avec défauts

Geometric models and applications to material media with defects

• Auteur / Autrice : Van Hoi Nguyen
• Direction : Loïc Le Marrec
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 14/12/2021
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : MATHSTIC
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuelle Rouhaud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Boris Kolev, Lalaonirina R. Rakotomanana, Nicolas Auffray, Patrick Verovic
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Patrizio Neff, Vladimir Salnikov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie différentielle

Mots clés libres

Variétés de Riemann-Cartan

Structure de fibré

Connexion de Ehresmann

Milieu matériel défectueux

Micro-Structure

Variétés de Weyl

Riemann-Cartan geometry

Fibre bundle

Ehresmann connection

Defective media

Microstructure

Weyl manifold

Résumé

Cette thèse porte sur l’étude de la modélisation mathématique d’un milieu matériel potentiellement défectueux dans le cadre de la géométrie différentielle. Il est couramment admis que la modélisation des milieux à défauts est étroitement en lien avec l’étude des variétés de Riemann-Cartan. Dans ce cadre, les tenseurs de torsion et de courbure sont interprétés comme des densités de dislocations et de disclinations. C'est la raison pour laquelle notre attention s’est concentrée sur la formulation de telles variétés mais aussi sur l’observation de l'évolution des défauts au cours d'une transformation. Deux modèles sont présentés, ils sont basés sur une géométrie (de variétés) de Riemann-Cartan associée à une variété de base ou à une structure de fibré. La seconde approche possède des caractéristiques plus avantageuses dans le sens ou elle permet d’inclure une large classe de matériaux en illustrant des phénomènes à plusieurs échelles. Comme, nous nous concentrons uniquement sur des transformations lisses de variétés lisses les modèles s’adaptent facilement à une exploitation numérique. C’est l’occasion d’étudier numériquement et théoriquement l'influence de la micro-structure sur la macro-structure qui est pris en compte à travers un facteur d'échelle. Enfin, nous montrerons des nouvelles théories motivent plusieurs problèmes en mathématiques et en mécanique.

This dissertation focuses on studying mathematical modeling of the material with defects in the framework of differential geometries. Since it has been recognized for a long time, the defective media closely connects with Riemann-Cartan manifolds. Torsion and curvature tensors are being interpreted as densities of dislocations and disclinations, respectively. Our attention is thus paid to formulate such manifolds and investigate the evolution of defects during a transformation. The two proposed models are based on different geometrical backgrounds, saying Riemann-Cartan geometry and Fibre bundle geometry. These approaches concern new kinds of material transformations that encompass the microcontinuum theories. Besides, we focus only on smooth fields rather than multivalued fields used in existing theories. It leads that the numerical and theoretical analyses are easier to handle. Especially, the influence of the micro and macro mechanics are taken into consideration as a whole by introducing a so-called scaling factor. Special attention is given to transport along a finite path in order to extend the standard infinitesimal analysis of torsion and curvature to a macroscopical point of view. Last, the present theories motivate several interesting problems in mathematics and mechanics.