Comportement en temps long de solutions d'EDP non linéaires :stabilité des ondes progressives, dispersion, intégrabilité, amortissement.

par Louise Gassot

Projet de thèse en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Patrick Gerard.

Thèses en préparation à université Paris-Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Analyse numérique et équations aux dérivées partielles (equipe de recherche) et de Faculté des sciences d'Orsay (référent) depuis le 01-09-2018 .


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement en temps long de solutions pour deux familles d'EDP non linéaires. D'une part, on s'intéresse aux ondes progressives radiales de l'équation de Schrödinger non linéaire cubique sur le groupe de Heisenberg. Le choix de la géométrie en fait une équation sans dispersion. On sait qu'il existe des solutions ondes progressives minimisantes pour toute vitesse dans ]-1,1[, et on montre des propriétés de stabilité orbitale de ces ondes progressives à partir de l'étude d'un système limite obtenu en faisant tendre la vitesse vers 1. Ce système limite joue le même rôle que l'équation de Szegő cubique pour l'équation de demi-onde cubique. D'autre part, on analyse les solutions de deux équations apparentées à l'équation de Benjamin-Ono en utilisant les propriétés d'intégrabilité de l'équation de Benjamin-Ono. Pour l'équation du troisième ordre dans la hiérarchie de Benjamin-Ono, on étudie le problème de Cauchy, on caractérise les solutions ondes progressives, puis on détermine leurs propriétés de stabilité orbitale. Pour une équation de Benjamin-Ono amortie par les petits modes de Fourier cos et sin, on décrit les limites faibles des trajectoires en temps infini, puis on montre l'absence de croissance des normes de Sobolev d'ordre supérieur en temps infini.

  • Titre traduit

    Long-time behavior of solutions to nonlinear PDEs: orbital stability of traveling waves, dispersion, integrability, damping.


  • Résumé

    This thesis is devoted to the study of the long-time behavior of solutions to two families of nonlinear PDEs. On the one hand, we are interested in the radial traveling wave solutions to the nonlinear cubic Schrödinger equation on the Heisenberg group. For this choice of geometry, the equation displays total lack of dispersion. We know that there exists ground state radial traveling waves to this equation with arbitrary speed in (-1,1), and we establish orbital stability properties fro these traveling waves, starting from a limiting system obtained when the speeds tends to 1. This limiting system plays the same role as the Szegő equation towards the cubic half-wave equation. On the other hand, we analyze the solutions to two equations related to the Benjamin-Ono equation, by using the integrability properties of the Benjamin-Ono equation. For the third order equation in the Benjamin-Ono hierarchy, we study the Cauchy problem, characterize the traveling wave solutions and determine their orbital stability properties. For a Benjamin-Ono equation with a damping term on the smallest Fourier modes cos and sin, we describe the weak limits points of the trajectories in infinite time, then prove the boundedness of higher order Sobolev norms in infinite time.