Homogénéisation quantitative sur l'amas de percolation et le système de particules

Quantitative homogenization on the percolation cluster and particle systems

• Auteur / Autrice : Chenlin Gu
• Direction : Jean-Christophe Mourrat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/04/2021
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Isabelle Gallagher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Christophe Mourrat, Isabelle Gallagher, Milton Jara, Jian Ding, Oriane Blondel, Raphaël Cerf, Yu Gu, Takashi Kumagai
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Milton Jara, Jian Ding

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques

Mots clés libres

Homogénéisation

Algorithmes numériques

Percolation

Systèmes de particules en interaction

Homogenization

Numerical Algorithms

Percolation

Interacting particle systems

Résumé

Cette thèse étudie l'interaction entre la théorie de l'homogénéisation quantitative et deux modèles stochastiques : le modèle de percolation surcritique et les systèmes de particules en interaction. L'homogénéisation stochastique se concentre sur les propriétés de grande échelle dans l'environnement aléatoire, et ces deux modèles représentent respectivement la généralisation dans l'environnement aléatoire dégénéré et dans l'environnement aléatoire dynamique. Dans les chapitres 2 et 3, nous étudions un algorithme efficace pour le problème de Dirichlet avec des coefficients aléatoires. Cet algorithme est proposé par Armstrong, Hannukainen, Kuusi et Mourrat, et permet une approximation dans H¹ pour la solution avec une grande précision et un faible coût de calcul. Nous confirmons sa cohérence au chapitre 2, puis nous l'étendons au modèle de percolation surcritique au chapitre 3. Le chapitre 4 est consacré à l'homogénéisation quantitative du semigroupe pour la marche aléatoire sur l'amas de percolation surcritique infini. Son interprétation probabiliste est un théorème limite central local quantitatif, et ce résultat implique également le taux de convergence de la fonction de Green elliptique. La preuve dans ce chapitre combine plusieurs estimations quantitatives sur le modèle de percolation : les correcteurs de premier ordre, le flux, le développement à deux échelles, et aussi la concentration de la densité de l'amas. Dans les chapitres 5 et 6, nous développons la théorie de l'homogénéisation pour un système de particules en interaction sans condition de gradient dans l'espace de configuration continu. Dans le chapitre 5, nous construisons ce modèle et prouvons une décroissance de la variance de type gaussien. Dans le chapitre 6, nous étudions son coefficient de diffusion global, et obtenons un taux de convergence pour l'approximation en volume fini. Notre stratégie est l'approche de sous-additivité et renormalisation, et nous développons également de nouvelles inégalités fonctionnelles adaptées à cette situation de dimension infinie.

This thesis studies the interaction between quantitative homogenization theory and two stochastic models: the supercritical percolation model and interacting particle systems. Stochastic homogenization focuses on large-scale properties in the random environment, and these two models represent generalization in the degenerate random environment and the dynamic random environment, respectively. In chapters 2 and 3, we study an efficient algorithm for the Dirichlet problem with random coefficients. This algorithm is proposed by Armstrong, Hannukainen, Kuusi and Mourrat, which allows an approximation in H¹ for the solution with high precision and low computational cost. We confirm its consistency in chapter 2, then extend it to the supercritical percolation model in chapter 3. Chapter 4 is devoted to the quantitative homogenization of the semigroup for the random walk on the infinite supercritical percolation cluster. Its probabilistic interpretation is as a quantitative local central limit theorem, and it also implies the convergence rate of the elliptic Green's function. The proof in this chapter combines several quantitative estimates on the percolation model: first-order correctors, flux, two-scaled expansion, and also the cluster density concentration. In chapters 5 and 6, we develop the homogenization theory for an interacting particle system without gradient condition in continuum configuration space. In chapter 5, we construct this model and prove its variance decay of Gaussian type. In chapter 6, we study its bulk diffusion coefficient and obtain a rate of convergence for the finite-volume approximation. Our strategy is the subadditivity-renormalization approach, and we also develop new functional inequalities adapted to this infinite-dimensional setting.