Variation du conducteur de Swan d'un faisceau étale ℓ-adique sur un disque ou une couronne rigide

Variation of the Swan conductor of an ℓ-adic étale sheaf on a rigid disc or annulus

• Auteur / Autrice : Amadou Bah
• Direction : Ahmed Abbes
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 28/06/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Alexander Grothendieck (Bures-sur-Yvette, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Jury : Président / Présidente : Takeshi Saito
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stefan Wewers, Fabrice Orgogozo, Anna Cadoret, Kęstutis Česnavičius, Gaëtan Chenevier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stefan Wewers, Fabrice Orgogozo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie analytique

Géométrie algébrique arithmétique

Cohomologie p-adique

Faisceaux, Théorie des

Mots clés libres

Faisceau étale ℓ-adique

Conducteur de Swan

Cycle caractéristique

Disques et couronnes rigides

Cycles évanescents

ℓ-adic étale sheaf

Swan conductor

Characteristic cycle

Rigid discs and annuli

Vanishing cycles

Résumé

Ce mémoire de thèse, qui contient deux parties liées, a pour thème la ramification des faisceaux étales ℓ-adiques sur un disque ou une couronne rigide. Soient K un corps de valuation discrète complet de corps résiduel algébriquement clos de charactéristique p > 0, D le disque unité fermé rigide et C une couronne fermée dans D centrée en l’origine. À un faisceau étale de Fℓ-modules F sur D ou C, ramifié en au plus un nombre fini de points rigides de D ou C, on associe une fonction conducteur de Swan sw(F, .) : ℚ≥0 → ℚ, construite avec la théorie de ramification d’Abbes et Saito, qui, pour une variable t ⋲ ℚ≥0, mesure la ramification de F le long de la fibre spéciale du modèle entier normalisé de la sous-couronne de rayon t et d’épaisseur nulle (quand elle est définie). On montre que cette fonction est continue, affine par morceaux et possède un nombre fini de pentes qui sont toutes entières. Dans la première partie, F est un faisceau lisse sur D; on montre alors que la dérivée à droite de sw(F, .) en t est l’ordre du cycle caractéristique de F en t. Dans la seconde partie, F est un faisceau étale sur C, possiblement ramifié en un nombre fini de points rigides; on exprime alors la variation des pentes de sw(F, .) entre deux rayons distincts t et t' suffisamment proches comme la différence des ordres des cycles caractéristiques de F en t et t'. Pour établir ces résultats, on démontre d’abord une formule de cycles évanescents reliant la dérivée de la fonction discriminant associée à un revêtement étale de D ou C, étudiée par W. Lütkebohmert, à des invariants, introduits par K. Kato, pour des homomorphismes entre anneaux locaux formels induits par le revêtement. Ensuite, on applique à des anneaux de valuation construits à partir de ces anneaux locaux formels la théorie de ramification de Kato pour les ℤ²-anneaux de valuation et on déduit des résultats de variation pour des conducteurs issus de cette théorie de ramification. On exploite enfin un lien crucial, connu grâce à un travail de H. Hu, entre cette dernière et la théorie de ramification d’Abbes et Saito pour établir la variation de sw(F, .).

This thesis, which has two related parts, is on the theme of ramification theory for étale ℓ-adic sheaves. Let K be a complete discrete valuation field with algebraically closed residue field of characteristic p > 0, D the closed rigid unit disc and C a closed sub-annulus of D centered around the origin. By the ramification theory of Abbes and Saito, to an étale sheaf of Fℓ-modules on D or C, ramified at most at a finite number of rigid points of D or C, we associate a Swan conductor function sw(F, .) : ℚ≥0 → ℚ which, for a variable t, measures the ramification of F along the special fiber of the normalized integral model of the sub-annulus of radius t with 0-thickness (when the latter is defined). We prove that this function is continuous, piecewise linear and has finitely many slopes which are all integers. In the first part, F is assumed to be a lisse étale sheaf on D. Then, the right derivative of sw(F, .) at t is shown to be the order of the characteristic cycle of F at t. In the second part, F is an étale sheaf on C possibly ramified at a finite number of rigid points. Then, the variation of the slopes of sw(F, .) between two distinct radii t et t' is shown to be the difference of the orders of the characteristic cycles of F att et t'. These results are established by connecting works of K. Kato, W. Lütkebohmert and H. Hu. First, we prove a vanishing cycles formula linking the derivative of the discriminant function of an étale cover of D or C, studied by Lütkebohmert, to invariants attached by Kato to homomorphisms of formal étale local rings induced by the cover. Then, we apply Kato’s ramification theory for ℤ²-valuation rings to two-dimensional valuation rings constructed from these formal local rings and we deduce the variation of associated conductors. Lastly, we exploit a crucial link, elucidated by a work of Hu, between Kato’s theory and the Abbes-Saito ramification theory to establish the variation of sw(F, .).