Points entiers sur les courbes modulaires, les modules singuliers et l’inégalité conducteur-discriminant

Integral Points on Modular Curves, Singular Moduli and Conductor-Discriminant Inequality

• Auteur / Autrice : Yulin Cai
• Direction : Yuri Bilu, Qing Liu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 24/07/2020
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Théorie des Nombres
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Pascal Autissier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pascal Autissier, Nicolas Billerey, Ariyan Javanpeykar, Sara Checcoli, Jean Gillibert
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Billerey, Ariyan Javanpeykar

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des nombres

Courbes modulaires

Courbes elliptiques

Mots clés libres

Points entiers

Courbe modulaire

Module singulier

Courbe hyperelliptique

Conducteur d'Artin

Integral point

Modular curve

Singular modulus

Hyperelliptic curve

Artin conductor

Résumé

Cette thèse traite de trois sujets en trois parties. Dans la première partie, nous étudions les points S-entiers de la courbe modulaire X0(p). Yuri Bilu a montré qu’en utilisant la méthode de Baker, on peut donner une borne effective de la hauteur de ces points en fonction de p, du corps de base et de l’ensemble de places S. Min Sha a rendu ce résultat explicite. avec une borne doublement exponentielle en dans p. Nous améliorons considérablement dans cette thèse le résultat de Sha, en obtenant une borne simplement exponentielle. Cela se fait en utilisant une version très explicite du principe de Chevalley-Weil basée sur des travaux de Qing Liu et Dino Lorenzini. Notre borne est non seulement plus nette que celle de Sha, mais également explicite en tous les paramètres. Dans la deuxième partie, nous considérons des modules singuliers de courbes elliptiques. Pour un module singulier fixe a, nous donnons une borne supérieure effective de la norme de x - a pour un autre module singulier x avec un grand discriminant. Dans la troisième partie, nous donnons une relation entre les conducteurs d’Artin d’un modèle Werestrass Y et ceux de deux modèles de Weierstrass donnés Y1,Y2. Avec cette relation, nous déduisons que l’inégalité conducteur-discriminant est valable pour Y si elle est valable pour Y1 et Y2.

This thesis discusses three topics, so it includes three parts. In the first part, we study S-integral points on the modular curve X0(p). Bilushowed that, using Baker’s method, they can be effectively bounded in terms of p, the base field and the set of places S. Sha made this result explicit, but the bound he obtained is double exponential in p. We drastically improve upon the result of Sha, obtaining a simple exponential bound. This is done using a very explicit version of the Chevalley-Weil principle based on the work of Liu and Lorenzini. Our bound is not only sharper than that of Sha, but is also explicit in all parameters. In the second part, we consider singular moduli. For a fixed singular modulus a, we give an effective upper bound of norm of x - a for another singular modulus x with large discriminant. In the third part, we give a relation between Artin conductors of a Weierstrass model Y and the ones of two given Weierstrass models Y1,Y2. With this relation, we know that the conductor-discriminant inequality holds for Y if it holds for Y1 and Y2.