Taux de croissance du nombre d'orbites périodiques pour les champs de vecteurs et approximation diophantienne uniforme des bêta-transformations

The growth rate of the number of periodic orbits for vector fields and uniform Diophantine approximation of beta-transformations

• Auteur / Autrice : Wanlou Wu
• Direction : Lingmin Liao
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 31/10/2019
• Etablissement(s) : Paris Est en cotutelle avec Soochow University (Suzhou, China)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées - Laboratoire Analyse et Mathématiques Appliquées / LAMA
• Jury : Président / Présidente : Yongluo Cao
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lingmin Liao, Jérôme Buzzi, Tomas Persson, Yun Wang, Dawei Yang, Michal Rams
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jérôme Buzzi, Tomas Persson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dynamique topologique

Systèmes dynamiques

Mots clés libres

Champs de vecteurs

Orbites périodiques

Entropie

Approximation diophantienne

Dimension de Hausdorff

Vector field

Periodic orbits

Entropy

Diophantine approximation

Hausdorff dimension

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes en systèmes dynamiques. L'un concerne la relation entre le nombre d'orbites périodiques des champs de vecteurs et l'entropie topologique des champs de vecteurs. L'autre concerne la taille de l'ensemble de tous les points dont les orbites se rapprochent d'un point donné avec une vitesse donnée dans les bêta-systèmes dynamiques.Pour le premier problème, nous démontrons que pour les champs de vecteurs dollar C^1dollar génériques : le taux de croissance du nombre d'orbites périodiques est supérieur ou égal à l'entropie topologique. Ceci étend un résultat classique de Katok pour des dollar C^{1+alpha}(alpha>0)dollar difféomorphismes de surface à des champs de vecteurs dollar C^1dollar génériques de toute dimension. En comparant avec la dynamique discrète, la difficulté principale provient de l'existence de singularités et du cisaillement du flux. En estimant la différence entre la période de l'orbite périodique et le temps récurrent de l'orbite récurrente, nous améliorons le lemme d'ombrage de Liao, qui est un outil fondamental pour traiter la difficulté causée par les singularités.Pour le second, nous considérons la bêta-transformation dollar T_betadollar sur l'intervalle dollar [0,1]dollar . Pour deux fonctions positives réelles dollar psi_1dollar et dollar psi_2dollar définies sur l'ensemble des entiers natures, notons dollar mathcal{L}(psi_1)dollar l'ensemble des points dollar xdollar dans l'intervalle dollar [0,1]dollar tels que dollar T_beta^n x<psi_1(n)dollar pour une infinité de dollar ndollar , et dollar mathcal{U}(psi_2)dollar l'ensemble des points dollar xdollar dans l'intervalle dollar [0,1]dollar tels que pour dollar Ndollar suffisamment grand, l'inégalité dollar T^n_beta x<psi_2(N)dollar admet une solution dollar ndollar inférieure ou égale à dollar Ndollar . Soit dollar underline{v}_1dollar (respectivement, dollar overline{v}_1dollar ) la limite inférieur (respectivement, limite supérieure) du logarithme en base bêta de dollar psi_1(n)dollar divisé par dollar ndollar . Les notations dollar underline{v}_2dollar et dollar overline{v}_2dollar sont définies en remplaçant dollar psi_1dollar par dollar psi_2dollar . D'après le résultat de Philipp, si la série de dollar psi_1(n)dollar (respectivement, dollar psi_2(n)dollar ) converge, la mesure de lebesgue de dollar mathcal{L}(psi_1)dollar (respectivement, dollar mathcal{U}(psi_2)dollar ) est z'{e}ro. Nous calculons la dimension de hausdorff de ces ensembles. La dimension de hausdorff de dollar mathcal{L}(psi_1)dollar a été bien trouvée et la formule dimensionnelle est uniquement déterminée par dollar underline{v}_1dollar . Nous étudions la mesure de lebesgue et la dimension de hausdorff de l'ensemble de l'intersection de dollar mathcal{L}(psi_1)dollar et dollar mathcal{U}(psi_2)dollar , et en donnons des caractérisation en utilisant dollar underline{v}_1dollar , dollar overline{v}_1dollar , dollar underline{v}_2dollar et dollar overline{v}_2dollar . En corollaire, nous trouvons la dimension de hausdorff de l'ensemble dollar mathcal{U}(psi_2)dollar à l'aide de dollar underline{v}_2dollar et dollar overline{v}_2dollar . Nos résultats généralisent ceux de Bugeaud et de Liao où seuls les exemple de dollar psi_1dollar et dollar psi_2dollar très spéciaux ont été pris en compte.

In this thesis, we study two problems in the dynamical systems. One concerns the relationship between the number of periodic orbits and the topological entropy of the vector fields. The other is on the size of the set of points whose orbits approximate a given point by some given speed in dollar betadollar -dynamical systems.For the first problem, we prove that for dollar C^1dollar -generic vector fields: the growth rate of the number of periodic orbits is greater than or equal to the topological entropy. This extends a classical result of Katok for dollar C^{1+alpha}(alpha>0)dollar surface diffeomorphisms to dollar C^1dollar -generic vector fields of any dimension. Comparing with discrete time dynamics, the main difficulty comes from the existence of singularities and the shear of the flow. By estimating the difference between the period of the periodic orbit and the recurrent time of the recurrent orbit, we improve Liao's shadowing lemma which is a basic tool to deal with the difficulty caused by singularities.For the second one, we consider the classical dollar betadollar -transformation dollar T_betadollar over the unit interval dollar [0,1]dollar . For two positive functions dollar psi_1dollar and dollar psi_2dollar defined on the set of natural numbers, let dollar mathcal{L}(psi_1)dollar be the set of points dollar xdollar in the interval dollar [0,1]dollar such that dollar T_beta^nx<psi_1(n)dollar for infinite many dollar ndollar , and dollar mathcal{U}(psi_2)dollar be the set of points dollar xdollar in the interval dollar [0,1]dollar such that for dollar Ndollar large enough, the inequality dollar T_beta^nx<psi_2(N)dollar has a solution dollar ndollar less than or equal to dollar Ndollar . Let dollar underline{v}_1dollar (respectively, dollar overline{v}_1dollar ) be the lower limit (respectively, upper limit) of the logarithm in base beta of dollar psi_1(n)dollar divided by dollar ndollar . The notations dollar underline{v}_2dollar and dollar overline{v}_2dollar are defined by replacing dollar psi_1dollar with dollar psi_2dollar . From the result of Philipp, if the series of dollar sumpsi_1(n)dollar (respectively, the series of dollar psi_2(n)dollar ) converges, then the Lebesgue measure of dollar mathcal{L}(psi_1)dollar (respectively, dollar mathcal{U}(psi_2)dollar ) is zero. We calculate the Hausdorff dimension of these sets. The Hausdorff dimension of dollar mathcal{L}(psi_1)dollar has already been found and the dimensional formula is totally determined by dollar underline{v}_1dollar . We characterize the Lebesgue measure and the Hausdorff dimension of the intersection of dollar mathcal{L}(psi_1)dollar and dollar mathcal{U}(psi_2)dollar , using dollar underline{v}_1dollar , dollar overline{v}_1dollar , dollar underline{v}_2dollar and dollar overline{v}_2dollar . As a corollary, sharp estimations of the Hausdorff dimension of the set dollar mathcal{U}(psi_2)dollar are obtained by using dollar underline{v}_2dollar and dollar overline{v}_2dollar . Our resultsgeneralize those of Bugeaud and Liao where only quite special dollar psi_1dollar and dollar psi_2dollar have been considered.