Autour des représentations distinguées: La conjecture d'injectivité généralisée et Modèles symplectiques pour les groupes unitaires.

par Sarah Dijols

Thèse de doctorat en Mathematiques

Sous la direction de Volker Heiermann.

Thèses en préparation à Aix-Marseille , dans le cadre de Mathématiques et informatique de Marseille (184) .


  • Résumé

    Soit $G$ un groupe connexe quasi-déployé défini sur un corps non-Archimédien de caractéristique nulle. On suppose que l'on se donne un sous-groupe parabolique standard de décomposition de Levi $P=MU$ ainsi qu'une représentation irréductible tempérée $\tau$ de $M$. Soit $\nu$ un élement dans le dual de l'algèbre de Lie de la composante déployée de $M$; on le choisit dans la chambre de Weyl positive. La représentation induite $I_P^G(\tau_{\nu})$ est appelée module standard. Quand la représentation $\tau$ est générique (pour un caractère non-dégénéré de $U$), i.e a un modèle de Whittaker, le module standard $I_P^G(\tau_{\nu})$ est également générique. Casselman et Shahidi ont conjecturé que l'unique sous-quotient générique apparaissait nécessairement comme sous-représentation dans le module standard $I_P^G(\tau_{\nu})$. Ceci a été démontrée dans le cas des groupes classiques $SO(2n+1), Sp(2n)$, et $SO(2n)$ quand $P$ est un sous-groupe parabolique maximal de $G$, par Hanzer en 2010. Dans notre travail, nous formulons et étudions ce problème dans le contexte plus général d'un groupe connexe quasi-déployé tel que les composantes irréductibles de $\Sigma_{\sigma}$ sont de type $A,B,C$ ou $D$. Dans la deuxième partie de cette thèse (en commun avec D.Prasad), nous prouvons d'abord qu'il n'existe pas de representation cuspidale du groupe quasi-déployé $\U_{2n}(F)$ qui soit distinguée par son sous-groupe $\Sp_{2n}(F)$ pour $F$ un corps local non-Archimédien. Nous prouvons ensuite le théorème équivalent pour un corps global: il n'existe pas de représentation cuspidale de $\U_{2n}(\A_k)$ qui ait une période symplectique non nulle pour $k$ un corps de nombres ou corps de fonctions.

  • Titre traduit

    Distinguished representations: The generalized injectivity conjecture and Symplectic models for unitary groups


  • Résumé

    Let $G$ be a quasi-split connected reductive group over a non-Archimedean local field $F$ of characteristic zero. We assume we are given a standard parabolic subgroup $P$ with Levi decomposition $P=MU$ as well as an irreducible, tempered representation $\tau$ of $M$. Let now $\nu$ be an element in the dual of the real Lie algebra of the split component of $M$; we take it in the positive Weyl chamber. The induced representation $I_P^G(\tau_{\nu})$ is called a standard module. When the representation $\tau$ is generic (for a non-degenerate character of $U$), i.e. has a Whittaker model, the standard module $I_P^G(\tau_{\nu})$ is also generic. Casselman and Shahidi have conjectured that the unique irreducible generic subquotient of a standard module $I_P^G(\tau_{\nu})$ is necessarily a subrepresentation. This conjecture known as the Generalized Injectivity Conjecture was proved for the classical groups $SO(2n+1), Sp(2n)$, and $SO(2n)$ for $P$ a maximal parabolic subgroup, by Hanzer in 2010. In our work, we formulate and study this problem for any quasi-split connected reductive group such that the irreducible components of $\Sigma_{\sigma}$ are of type $A,B,C$ or $D$. In the second part of this thesis (joint work with D.Prasad), we prove that there are no cuspidal representations of the quasi-split unitary groups $\U_{2n}(F)$ distinguished by $\Sp_{2n}(F)$ for $F$ a non-archimedean local field. We also prove the corresponding global theorem that there are no cuspidal representations of $\U_{2n}(\A_k)$ with nonzero period integral on $\Sp_{2n}(k) \backslash \Sp_{2n}(\A_k)$ for $k$ any number field or a function field.