Théorie de la diffusion pour des modèles mathématiques de l'interaction faible

Scattering Theory for Mathematical Models of the Weak Interaction

• Auteur / Autrice : Benjamin Alvarez
• Direction : Jérémy Faupin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/10/2019
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Dietrich Häfner
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérémy Faupin, Volker Bach, Christian Gérard, Sébastien Breteaux, Renata Béatrice Bunoiu, Annalisa Panati
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Volker Bach, Christian Gérard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Interactions faibles (physique nucléaire)

Modèles mathématiques

Théorie quantique

Physique mathématique

Mots clés libres

Physique mathématique

Théorie spectrale

Théorie de la diffusion

Théorie quantique des champs

Interaction faible

Mathematical Physics

Spectral Theory

Scattering Theory

Quantum Field Theory

Weak Interactions

Résumé

Dans ce travail nous considérons d'abord un modèle mathématique de la désintégration des bosons W en leptons. L'hamiltonien d'énergie libre est perturbé par un terme d'interaction issu du modèle standard de la physique des particules. Après avoir introduit des coupures en hautes énergies ainsi qu'en espace, nous démontrons que l'Hamiltonien est un opérateur auto-adjoint sur un produit tensoriel d'espaces de Fock. Nous en étudions la théorie de la diffusion. D'abord, nous supposons que les neutrinos ont une masse non nulle et la complétude asymptotique est vérifiée pour une valeur quelconque de la constante de couplage. Dans un deuxième temps, nous considérons des neutrinos non massifs dans un modèle simplifié. Nous démontrons alors la complétude asymptotique en supposant que la constante de couplage est suffisamment petite, en utilisant une théorie de Mourre singulière, des estimations de propagation adaptées ainsi que la conservation d'une certaine combinaison linéaire d'opérateurs de nombre de particules. Nous étudions par ailleurs des modèles de théorie des champs pour un nombre fini mais quelconque de fermions de spin 1/2. Le terme d'interaction est obtenu en considérant toutes les combinaisons possibles pour les opérateurs de création et d'annihilation. Les différents champs peuvent être massifs comme non massifs et le noyau d'interaction doit vérifier des hypothèses de régularité en espace comme en moment. L'hamiltonien est alors un opérateur auto-adjoint, quelque soit l'intensité de l'interaction, sur un produit tensoriel d'espaces de Fock. Nous démontrons par ailleurs l'existence d'un état fondamental. Nos résultats s'appuient sur une interpolation d'estimation en Nτ et peuvent intervenir dans la modélisation de processus d'interaction faible dans la théorie de Fermi. Nous présenterons enfin une façon de retirer la troncature en espace sur des modèles jouets anfin de définir un modèle invariant par translation.

In this work, we consider, first, mathematical models of the weak decay of the vector bosons W into leptons. The free quantum field Hamiltonian is perturbed by an interaction term from the standard model of particle physics. After the introduction of high energy and spatial cut-offs, the total quantum Hamiltonian defines a self-adjoint operator on a tensor product of Fock spaces. We study the scattering theory for such models. First, the masses of the neutrinos are supposed to be positive: for all values of the coupling constant, we prove asymptotic completeness of the wave operators. In a second model, neutrinos are treated as massless particles and we consider a simpler interaction Hamiltonian: for small enough values of the coupling constant, we prove again asymptotic completeness, using singular Mourre's theory, suitable propagation estimates and the conservation of the difference of some number operators. We moreover study Hamiltonian models representing an arbitrary number of spin 1/2 fermion quantum fields interacting through arbitrary processes of creation or annihilation of particles. The fields may be massive or massless. The interaction form factors are supposed to satisfy some regularity conditions in both position and momentum space. Without any restriction on the strength of the interaction, we prove that the Hamiltonian identifies to a self-adjoint operator on a tensor product of anti-symmetric Fock spaces and we establish the existence of a ground state. Our results rely on novel interpolated Nτ estimates. They apply to models arising from the Fermi theory of weak interactions, with ultraviolet and spatial cut-offs. Finally, the removal of spatial cut-off to define translation invariant toy models will be quickly discussed in the last chapter.