Nouvelles solutions de bootstrap conforme et modèles de percolation sur le tore

par Nina Javerzat

Projet de thèse en Physique

Sous la direction de Raoul Santachiara.

Thèses en préparation à université Paris-Saclay , dans le cadre de Physique en Île de France , en partenariat avec Laboratoire de Physique Théorique et Modèles Statistiques (laboratoire) , Faculté des sciences d'Orsay (référent) et de Université Paris-Saclay. Graduate School Physique (2020-....) (graduate school) depuis le 01-10-2017 .


  • Résumé

    Paragraph*{Résumé :} Les propriétés géométriques des phénomènes critiques ont généré un intérêt croissant en physique théorique ainsi qu'en mathématiques au cours des trente dernières années. Les systèmes de percolation sont l'exemple par excellence de tels phénomènes géométriques, où la transition de phase est caractérisée par le comportement de degrés de liberté non-locaux, les amas de percolation. Au point critique, ces amas sont des exemples d'objets aléatoires dont la mesure est invariante conforme, c'est à dire invariante sous tout changement d'échelle local. Nous ne savons en général pas caractériser complètement ces amas, ni même pour le modèle le plus simple de la percolation pure. En deux dimensions, la présence de la symétrie conforme a des conséquences particulièrement importantes. Dans cette thèse nous examinons les implications de cette symétrie sur les propriétés universelles des systèmes critiques bidimensionels, en utilisant une approche dite de bootstrap conforme. La première partie détaille les implications générales de l'invariance conforme, en examinant ses conséquences sur les fonctions de corrélation. Sont considérés en particulier les effets induits par une topologie de tore, ce qui est appliqué dans la deuxième partie de la thèse à l'étude de modèle statistiques particuliers. Nous discutons également les propriétés analytiques des fonctions de corrélation et présentons des résultats sur des questions techniques liées à l'implémentation de méthodes numériques de bootsrap conforme en deux dimensions. La seconde partie est dédiée à l'étude de deux familles particulières de modèles critiques de percolation avec des corrélations de longue portée : le modèle d'amas aléatoires de Potts à $Q$ états, et un modèle de percolation de surfaces aléatoires. Nous explorons les propriétés percolatoires de ces modèles en étudiant les propriétés de connectivité des amas, c'est à dire les probabilités que des points appartiennent au même amas. Nous avons réalisé que les connectivités sur le tore représentent des observables très intéressantes. En les décrivant comme fonction de corrélation de champs quantiques dans une théorie des champs conforme, nous obtenons de nouveaux résultats sur les classes d'universalité de ces modèles.

  • Titre traduit

    New conformal bootstrap solutions and percolation models on the torus


  • Résumé

    The geometric properties of critical phenomena have generated an increasing interest in theoretical physics and mathematics over the last thirty years. Percolation-type systems are a paradigm of such geometric phenomena, their phase transition being characterised by the behaviour of non-local degrees of freedom: the percolation clusters. At criticality, such clusters are examples of random objects with a conformally invariant measure, namely invariant under all local rescalings. Even in the simplest percolation model --pure percolation, we do not know how to fully characterise these clusters. In two dimensions, the presence of conformal symmetry has especially important implications. In this thesis we investigate the consequences of this symmetry on the universal properties of two-dimensional critical statistical models, by using a conformal bootstrap approach. The first part details the general implications of conformal invariance, by examining its consequences on correlation functions. Are addressed in particular the effects induced by the torus topology, applied in the second part to the study of specific statistical models. We also examine the analytic properties of correlation functions and present results on technical questions related to the implementation of numerical conformal bootstrap methods in two dimensions. The second part is devoted to the study of two specific families of critical long-range correlated percolation models: the random cluster $Q-$state Potts model and the percolation of random surfaces. We investigate the percolative properties of these models by studying the clusters connectivity properties, namely the probability that points belong to the same cluster. We find that the connectivities on a torus represent particularly interesting observables. By describing them as correlation functions of quantum fields in a conformal field theory, we obtain new results on the universality classes of these models.