Algorithmes quantiques pour la méthode de Monte Carlo

Quantum algorithms for the Monte Carlo method

• Auteur / Autrice : Yassine Hamoudi
• Direction : Frédéric Magniez, Miklos Santha
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 07/07/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Maria Naya-Plasencia
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Magniez, Miklos Santha, Maria Naya-Plasencia, Ashley Montanaro, Michele Mosca, Omar Fawzi, Stacey Jeffery
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ashley Montanaro, Michele Mosca

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes de streaming (télécommunications)

Processus stochastiques

Échantillonnage (statistique)

Algorithmes

Monte-Carlo, Méthode de

Mots clés libres

Calcul quantique

Estimateurs de moyenne

Échantillonnage préférentiel

Optimisation stochastique

Calcul à mémoire restreinte

Algorithmes de streaming

Complexité en requête

Quantum computing

Algorithms

Monte Carlo method

Mean estimators

Importance sampling

Stochastic optimization

Space-Bounded computation

Streaming algorithms

Query complexity

Résumé

La méthode de Monte Carlo est un paradigme central de l'algorithmique basée sur l'analyse statistique et sur les techniques d'échantillonnage aléatoire appliquées aux problèmes ayant une interprétation probabiliste. Cette thèse explore les avantages qu'offrirait un ordinateur quantique pour augmenter l'efficacité de cette méthode. Nous étudions dans un premier temps le problème d'estimation de valeurs moyennes par des techniques à temps de calcul minimal. Nous développons de nouveaux algorithmes quantiques pour estimer l'espérance d'une variable aléatoire réelle produite en sortie d'un processus quantique. Les estimateurs que nous construisons procurent une accélération quadratique par rapport au nombre d'échantillons classiques nécessaires pour obtenir une borne d'erreur sous-gaussienne ou une (epsilon,delta)-approximation. Nous décrivons également un cadre théorique fournissant une notion de «temps d'arrêt» pour un processus quantique générant une variable aléatoire. Nous démontrons que le problème d'estimation de la moyenne peut être résolu plus efficacement lorsque le temps d'arrêt moyen du processus sous-jacent est court. Ces résultats sont appliqués au développement d'un algorithme de requête quantique quasi-optimal pour approximer le nombre de triangles dans un graphe. Dans un second temps, nous étudions le problème d'échantillonnage préférentiel et ses applications en optimisation stochastique. Nous construisons un algorithme quantique pour échantillonner plusieurs éléments d'une distribution finie spécifiée par un vecteur de probabilité. Notre approche résout le problème plus général consistant à préparer plusieurs copies d'un état quantique dont les amplitudes sont accessibles via un oracle. L'utilité de ce résultat est illustrée à travers le développement de deux algorithmes hybrides quantiques-classiques basés sur la méthode des poids multiplicatifs et sur l'algorithme du gradient stochastique. Ces deux applications concernent la prédiction en ligne avec conseil d'experts, et la minimisation des fonctions sous-modulaires. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude des algorithmes quantiques à mémoire limitée. Nous étudions tout d'abord le problème d'approximation des moments de fréquence dans le modèle de flots de données à passes multiples. Nous construisons un algorithme quantique qui nécessite une quantité de mémoire moindre que les meilleurs algorithmes de streaming classiques possible. Notre méthode repose sur les estimateurs quantiques de moyenne susmentionnés et sur des techniques de simulation de calcul reversible. Nous explorons ensuite certaines limites des algorithmes à mémoire restreinte dans le modèle de requête quantique. Nous développons une nouvelle approche pour obtenir des bornes inférieures temps-mémoire, basée sur une technique récente d'enregistrement des requêtes quantiques. Ce résultat est appliqué au problème de la recherche de paires de collisions dans une fonction aléatoire. Nous démontrons que la complexité en requête quantique de cette tâche augmente lorsque la quantité de mémoire disponible diminue.

The Monte Carlo method is a central paradigm of algorithm design that consists in using statistical analysis and random sampling to solve problems that have a probabilistic interpretation. This thesis explores the advantages offered by a quantum computer to speed up this method. The first part of our work concerns the problem of estimating average values in a time-efficient way. We develop new quantum algorithms for estimating the mean of a real-valued random variable obtained as the output of a quantum computation. Our estimators achieve a near-optimal quadratic speedup over the number of classical samples required to get a sub-Gaussian error rate or an (epsilon,delta)-approximation guarantee. Furthermore, we describe a framework that provides a notion of ``stopping time'' for a quantum process generating a random variable. We show that the mean estimation problem can be further sped up when the average stopping time of the underlying process is small. These techniques are applied to the construction of a near-optimal quantum query algorithm for approximately counting the number of triangles in a graph. In the second part we study the task of importance sampling and its applications to stochastic optimization. We construct a quantum algorithm for sampling multiple elements from a finite distribution specified as a probability vector. Our approach solves the more general problem of preparing multiple copies of a quantum state whose amplitudes are given by a query oracle. We illustrate the use of this result by constructing two hybrid quantum-classical algorithms based on the multiplicative weight update and stochastic gradient descent methods. Our two applications address the problems of online prediction with expert advice, and of minimizing a submodular set function. In the third part we consider quantum algorithms that operate with limited memory. We first study the problem of approximating the frequency moments in the data stream model with multiple passes over the input. We construct a quantum algorithm that uses less memory than the best possible classical streaming algorithms. Our method combines the above-mentioned quantum mean estimators with reversible simulation techniques. Then, we examine the limitations of space-bounded algorithms in the quantum query model. We develop a new approach for proving time-space tradeoff lower bounds in this setting, based on a recent technique for recording quantum queries. As an application, we consider the task of finding multiple collision pairs in a random function. We show that the quantum query complexity of this problem increases when the available space decreases.