Apprentissage dans les disques de Poincaré et de Siegel de séries temporelles multidimensionnelles complexes suivant un modèle autorégressif gaussien stationnaire centré : application à la classification de données audio et de fouillis radar

Multidimensional complex stationary centered Gaussian autoregressive time series machine learning in Poincaré and Siegel disks : application for audio and radar clutter classification

• Auteur / Autrice : Yann Cabanes
• Direction : Marc Arnaudon, Jérémie Bigot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 31/03/2022
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Jesús Angulo López
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Arnaudon, Jérémie Bigot, Salem Said, Fabrice Gamboa, Frédéric Barbaresco, Alice Le Brigant, Pierrick Legrand
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Salem Said, Fabrice Gamboa

Mots clés

Mots clés contrôlés

Autorégression (statistique)

Processus stochastiques

Riemann, Variétés de

Mots clés libres

Machine Learning

Fouillis radar

Classification

Géométrie de l'information

Séries temporelles stationnaires

Variétés Riemanniennes

Machine Learning

Radar clutter

Classification

Information Geometry

Stationary time series

Riemannian Manifolds

Résumé

L’objectif de cette thèse est la classification de séries temporelles à valeurs complexes suivant un modèle autorégressif gaussien stationnaire centré.Nous étudions le cas des séries temporelles unidimensionnelles ainsi que le cas plus général des séries temporelles multidimensionnelles.L'apport de cette thèse est à la fois méthodologique et technique.La méthodologie présentée permet de représenter les lois des séries temporelles observées dans une variété riemannienne dans laquelle la classification sera effectuée.Les étapes majeures de notre méthode sont : la définition de l'espace des coefficients du modèle paramétrique permettant de représenter les séries temporelles considérées, l'estimation des coefficients du modèle paramétrique à partir de séries temporelles observées, munir l'espace des coefficients du modèle paramétrique d'une métrique riemannienne issue de la géométrie de l'information et enfin l'adaptation d'algorithmes de machine learning classiques aux variétés riemanniennes obtenues.Dans le cas des séries temporelles multidimensionnelles, nous travaillerons dans un espace produit qui fait intervenir le disque de Siegel (ensemble des matrices complexes de valeurs singulières strictement inférieures à 1) muni d'une métrique riemannienne produit.En plus de l'apport méthodologique évoqué précédemment, nous apportons des outils théoriques nouveaux pour classifier des données dans la variété de Siegel : nous donnons les formules explicites du logarithme riemannien, de l'exponentielle riemannienne et de la courbure sectionnelle de la variété obtenue sur l'espace de Siegel.Notre modèle de représentation des séries temporelles complexes suivant un modèle autorégressif gaussien stationnaire centré sera appliqué à la classification de séries temporelles simulées, au clustering de fouillis radar et à la classification de séries temporelles audio stéréo stationnaires.

The objective of this thesis is the classification of complex valued stationary centered Gaussian autoregressive time series.We study the case of one-dimensional time series as well as the more general case of multidimensional time series.The contribution of this thesis is both methodological and technical.The methodology presented can be used to represent the probability distributions of the observed time series in a Riemannian manifold in which the classification will be performed.The major steps of our method are: the definition of the space of the coefficients of the parametric model used to represent the considered time series, the estimation of the coefficients of the parametric model from observed time series, to endow the space of the coefficients of the parametric model with a Riemannian metric coming from information geometry and finally the adaptation of classical machine learning algorithms to the Riemannian manifolds obtained.In the case of multidimensional time series, we will work in a product manifold which involves the Siegel disk (set of complex matrices with singular values strictly lower than 1) endowed with a Riemannian metric.In addition to the methodological contribution mentioned previously, we bring new theoretical tools to classify data in the Siegel manifold: we give the explicit formulas of the Riemannian logarithm map, of the Riemannian exponential map and of the Siegel manifold sectional curvature.Our representation model for complex stationary centered Gaussian autoregressive time series will be applied to simulated time series classification, to radar clutter clustering and to stationary stereo audio time series classification.