Les 3-variétés contractiles et courbure scalaire positive
Auteur / Autrice : | Jian Wang |
Direction : | Gérard Besson |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques appliquées |
Date : | Soutenance le 26/09/2019 |
Etablissement(s) : | Université Grenoble Alpes (ComUE) |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble) |
Jury : | Président / Présidente : Laurent Bessières |
Examinateurs / Examinatrices : Louis Funar, Marina Ville | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Laurent Mazet, Herbert Blaine Lawson |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Un des objectifs de ce mémoire est de comprendre les espaces munis de métrique complète de courbure scalaire positive. Il y a plusieurs obstructions topologiques à l'existence d'une métrique complète de courbure scalaire positive. Notre but est de trouver toutes les obstructions pour les variétés contractiles de dimension 3 et les variétés fermées de dimension 4.En dimension 3, nous considèrons la question de savoir si une variété contractile complète de courbure scalaire positive est homéomorphe à mathbb{R} 3. La structure topologique des variétés contractiles de dimension 3 est assez compliquèe. Par exemple, Whitehead a construit une variété dimension 3 contractile qui n'est pas homéomorphe à mathbb{R} 3.Nous prouvons, tout d'abord, que la variété de Whitehead n'a pas de métrique complète de courbure scalaire positive. Ce résultat peut être généralisé au cas dit de genre un. Précisément, nous montrons qu'aucune variété contractile de dimension 3 et de genre un ne possède de métrique complète de courbure scalaire positive. Nous étudions ensuite le groupe fondamental à l'infini, pi 1infty, et son lien avec l'existence d'une métrique de courbure scalaire positive. Le groupe fondamental à l'infini d'une variété est la limite projective des groupes fondamentaux des complémentaires des sous-ensembles compacts. Dans ce mémoire, nous apportons une réponse partielle à la question évoquée plus haut. Nous prouvons qu'une variété complète de dimension 3 de courbure scalaire positive dont le groupe pi1 infty est trivial et homéomorphe à mathbb{R} 3.medskipEnfin, nous étudions les variétés fermées asphériques de dimension 4. En utilisant la théorie des surfaces minimales et la conjecture de géométrisation, nous montrons qu'aucune variété fermée asphérique de dimension 4 avec un premier nombre de Betti non trivial ne possède de métrique à courbure scalaire positive.