Mesures de sensibilité de Borgonovo : estimation des indices d'ordre un et supérieur, et application à l'analyse de fiabilité

Borgonovo's importance measures : estimation of first and higher order indices, and application to reliability analysis

• Auteur / Autrice : Pierre Derennes
• Direction : Jérôme Morio, Florian Simatos
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 25/06/2019
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : ONERA / DEMR, Université de Toulouse [Toulouse]

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sensibilité, Théorie de la (mathématiques)

Systèmes complexes

Mots clés libres

Analyse de sensibilité globale

Mesures d'importance de Borgonovo

Estimation de densité

Analyse de fiabilité

Théorie des copules

Global sensitivity analysis

Borgonovo's importance measures

Density estimation

Reliability analysis

Copula theory

Résumé

Dans de nombreuses disciplines, un système complexe est modélisé par une fonction boîte noire dont le but est de simuler le comportement du système réel. Le système est donc représenté par un modèle entrée-sortie, i.e, une relation entre la sortie Y (ce que l'on observe sur le système) et un ensemble de paramètres extérieurs Xi (représentant typiquement des variables physiques). Ces paramètres sont usuellement supposés aléatoires pour prendre en compte les incertitudes phénoménologiques inhérentes au système. L'analyse de sensibilité globale joue alors un rôle majeur dans la gestion de ces incertitudes et dans la compréhension du comportement du système. Cette étude repose sur l'estimation de mesures d'importance dont le rôle est d'identifier et de classifier les différentes entrées en fonction de leur influence sur la sortie du modèle. Les indices de Sobol, dont l'objectif est de quantifier la contribution d'une variable d'entrée (ou d'un groupe de variables) à la variance de la sortie, figurent parmi les mesures d'importance les plus considérées. Néanmoins, la variance est une représentation potentiellement restrictive de la variabilité du modèle de sortie. Le sujet central de cette thèse porte sur une méthode alternative, introduite par Emanuele Borgonovo, et qui est basée sur l'analyse de l'ensemble de la distribution de sortie. Les mesures d'importance de Borgonovo admettent des propriétés très utiles en pratique qui justifient leur récent gain d'intérêt, mais leur estimation constitue un problème complexe. En effet, la définition initiale des indices de Borgonovo fait intervenir les densités inconditionnelles et conditionnelles de la sortie du modèle, malheureusement inconnues en pratique. Dès lors, les premières méthodes proposées menaient à un budget de simulation élevé, la fonction boite noire pouvant être très coûteuse à évaluer. La première contribution de cette thèse consiste à proposer de nouvelles méthodologies pour estimer les mesures d'importance de Borgonovo du premier ordre, i.e, les indices mesurant l'influence de la sortie Y relativement à une entrée Xi scalaire. Dans un premier temps, nous choisissons d'adopter la réinterprétation des indices de Borgonovo en terme de mesure de dépendance, i.e, comme une distance entre la densité jointe de Xi et Y et la distribution produit. En outre, nous développons une procédure d'estimation combinant échantillonnage préférentiel et approximation par noyau gaussien de la densité de sortie et de la densité jointe. Cette approche permet de calculer l'ensemble des indices de Borgonovo d'ordre 1, et ce, avec un faible budget de simulation indépendant de la dimension du modèle. Cependant, l'utilisation de l'estimation par noyau gaussien peut fournir des estimations imprécises dans le cas des distributions à queue lourde. Pour pallier ce problème, nous nous appuyons dans un second temps sur une autre définition des indices de Borgonovo reposant sur le formalisme des copules.

In many disciplines, a complex system is modeled by a black box function whose purpose is to mimic the real system behavior. Then, the system is represented by an input-output model, i.e, a relationship between the output Y (the observation made on the system) and a set of external parameters Xi (typically representing physical variables). These parameters are usually assumed to be random in order to take phenomenological uncertainties into account. Then, global sensitivity analysis (GSA) plays a crucial role in the handling of these uncertainties and in the understanding of the system behavior. This study is based on the estimation of importance measures which aim at identifying and ranking the different inputs with respect to their influence on the model output. Variance-based sensitivity indices are one of the most widely used GSA measures. They are based on Sobol's indices which express the share of variance of the output that is due to a given input or input combination. However, by definition they only study the impact on the second-order moment of the output which may a restrictive representation of the whole output distribution. The central subject of this thesis is an alternative method, introduced by Emanuele Borgonovo, which is based on the analysis of the whole output distribution. Borgonovo's importance measures present very convenient properties that justify their recent gain of interest, but their estimation is a challenging task. Indeed, the initial definition of the Borgonovo's indices involves the unconditional and conditional densities of the model output, which are unfortunately unknown in practice. Thus, the first proposed methods led to a high computational burden especially since the black box function may be very costly-to-evaluate. The first contribution of this thesis consists in proposing new methodologies for estimating first order Borgonovo importance measures which quantify the influence of the output Y relatively to a scalar input Xi. First, we choose to adopt the reinterpretation of the Borgonovo indices in term of measure of dependence, i.e, as a distance between the joint density of Xi and Y and the product distribution. In addition, we develop an estimation procedure combining an importance sampling procedure and Gaussian kernel approximation of the output density and the joint density. This approach allows the computation of all first order Borgonovo with a low budget simulation, independent to the model dimension. However, the use of Gaussian kernel estimation may provide inaccurate estimates for heavy tail distributions. To overcome this problem, we consider an alternative definition of the Borgonovo indices based on the copula formalism.