Étude de systèmes dynamiques avec perte de régularité

On loss of regularity in dynamical systems

• Auteur / Autrice : Julien Sedro
• Direction : Hans-Henrik Rugh
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 27/09/2018
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : François Ledrappier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hans-Henrik Rugh, François Ledrappier, Carlangelo Liverani, Rafael de la Llave, Sébastien Gouëzel, Jérôme Buzzi, Françoise Pène
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Carlangelo Liverani, Rafael de la Llave

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions implicites

Systèmes dynamiques aléatoires

Systèmes dynamiques hyperboliques

Mots clés libres

Systèmes uniformément dilatants

Systèmes dynamiques aléatoires

Fonctions implicites

Réponse linéaire

Uniformly expanding systems

Random dynamical systems

Implicit functions

Linear reponse

Résumé

L'objet de cette thèse est le développement d'un cadre unifié pour étudier la régularité de certains éléments caractéristiques des dynamiques chaotiques (pression/entropie topologique, mesure de Gibbs, exposants de Lyapunov) par rapport à la dynamique elle même. Le principal problème technique est la perte de régularité venant de l'utilisation d'un opérateur de composition, l'opérateur de transfert, dont les propriétés spectrales sont intimement liées aux "éléments caractéristiques" ci-dessus. Pour surmonter ce problème, nous établissons un théorème de régularité par rapport aux paramètres pour des points fixes, dans un esprit proche du théorème des fonctions implicites de Nash Moser. Nous appliquons ensuite cette approche "point fixe" au problème de la réponse linéaire (régularité de la mesure invariante du système par rapport aux paramètres) pour une famille de dynamiques uniformément dilatantes. Dans un second temps, nous étudions la régularité du plus grand exposant de Lyapunov d'un produit aléatoire d'applications dilatantes, s'appuyant sur notre théorème de régularité et la théorie des contractions de cônes. Nous en déduisons la régularité par rapport aux paramètres de la mesure stationnaire, de la variance dans le théorème limite central, et d'autres quantités dynamiques d'intérêt.

The aim of this thesis is the development of a unified framework to study the regularity of certain characteristics elements of chaotic dynamics (Topological presure/entropy, Gibbs measure, Lyapunov exponents) with respect to the dynamic itself. The main technical issue is the regularity loss occuring from the use of a composition operator, the transfer operator, whose spectral properties are intimately connected to the aformentionned "characteristics elements". To overcome this issue, we developped a regularity theorem for fixed points (with respect to parameter), in the spirit of the implicit function theorem of Nash and Moser. We then apply this "fixed point" approach to the linear response problem (studying the regularity of the system invariant measure w.r.t parameters) for a family of uniformly expanding maps. In a second time, we study the regularity of the top characteristic exponent of a random prduct of expanding maps, building from our regularity theorem and cone contraction theory. We deduce from this regularity w.r.t parameters for the stationanry measure, the variance in the central limit theorem, and other quantities of dynamical interest.