Interpolation sur les variétés grassmanniennes et applications à la réduction de modèles en mécanique

par Rolando Mosquera Meza

Thèse de doctorat en Mécanique

Sous la direction de Aziz Hamdouni et de Abdallah El Hamidi.


  • Résumé

    Ce mémoire de thèse concerne l'interpolation sur les variétés de Grassmann et ses applications à la réduction de modèles en mécanique et plus généralement aux systèmes d'équations aux dérivées partielles d'évolution. Après une description de la méthode POD, nous introduisons les fondements théoriques en géométrie des variétés de Grassmann, qui seront utilisés dans le reste de la thèse. Ce chapitre donne à ce mémoire à la fois une rigueur mathématique au niveau des algorithmes mis au point, leur domaine de validité ainsi qu'une estimation de l'erreur en distance grassmannienne, mais également un caractère auto-contenu "self-contained" du manuscrit. Ensuite, on présente la méthode d'interpolation sur les variétés de Grassmann introduite par David Amsallem et Charbel Farhat. Cette méthode sera le point de départ des méthodes d'interpolation que nous développerons dans les chapitres suivants. La méthode de Amsallem-Farhat consiste à choisir un point d'interpolation de référence, envoyer l'ensemble des points d'interpolation sur l'espace tangent en ce point de référence via l'application logarithme géodésique, effectuer une interpolation classique sur cet espace tangent, puis revenir à la variété de Grassmann via l'application exponentielle géodésique. On met en évidence par des essais numériques l'influence du point de référence sur la qualité des résultats. Dans notre premier travail, nous présentons une version grassmannienne d'un algorithme connu dans la littérature sous le nom de Pondération par Distance Inverse (IDW). Dans cette méthode, l'interpolé en un point donné est considéré comme le barycentre des points d'interpolation où les coefficients de pondération utilisés sont inversement "proportionnels" à la distance entre le point considéré et les points d'interpolation. Dans notre méthode, notée IDW-G, la distance géodésique sur la variété de Grassmann remplace la distance euclidienne dans le cadre standard des espaces euclidiens. L'avantage de notre algorithme, dont on a montré la convergence sous certaines conditions assez générales, est qu'il ne requiert pas de point de référence contrairement à la méthode de Amsallem-Farhat. Pour remédier au caractère itératif (point fixe) de notre première méthode, nous proposons une version directe via la notion de barycentre généralisé. Notons enfin que notre algorithme IDW-G dépend nécessairement du choix des coefficients de pondération utilisés. Dans notre second travail, nous proposons une méthode qui permet un choix optimal des coefficients de pondération, tenant compte de l'auto-corrélation spatiale de l'ensemble des points d'interpolation. Ainsi, chaque coefficient de pondération dépend de tous les points d'interpolation et non pas seulement de la distance entre le point considéré et un point d'interpolation. Il s'agit d'une version grassmannienne de la méthode de Krigeage, très utilisée en géostatique. La méthode de Krigeage grassmannienne utilise également le point de référence. Dans notre dernier travail, nous proposons une version grassmannienne de l'algorithme de Neville qui permet de calculer le polynôme d'interpolation de Lagrange de manière récursive via l'interpolation linéaire entre deux points. La généralisation de cet algorithme sur une variété grassmannienne est basée sur l'extension de l'interpolation entre deux points (géodésique/droite) que l'on sait faire de manière explicite. Cet algorithme ne requiert pas le choix d'un point de référence, il est facile d'implémentation et très rapide. De plus, les résultats numériques obtenus sont remarquables et nettement meilleurs que tous les algorithmes décrits dans ce mémoire.

  • Titre traduit

    Interpolation on Grassmann manifolds and applications to reduced order methods in mechanics


  • Résumé

    This dissertation deals with interpolation on Grassmann manifolds and its applications to reduced order methods in mechanics and more generally for systems of evolution partial differential systems. After a description of the POD method, we introduce the theoretical tools of grassmannian geometry which will be used in the rest of the thesis. This chapter gives this dissertation a mathematical rigor in the performed algorithms, their validity domain, the error estimate with respect to the grassmannian distance on one hand and also a self-contained character to the manuscript. The interpolation on Grassmann manifolds method introduced by David Amsallem and Charbel Farhat is afterward presented. This method is the starting point of the interpolation methods that we will develop in this thesis. The method of Amsallem-Farhat consists in chosing a reference interpolation point, mapping forward all interpolation points on the tangent space of this reference point via the geodesic logarithm, performing a classical interpolation on this tangent space and mapping backward the interpolated point to the Grassmann manifold by the geodesic exponential function. We carry out the influence of the reference point on the quality of the results through numerical simulations. In our first work, we present a grassmannian version of the well-known Inverse Distance Weighting (IDW) algorithm. In this method, the interpolation on a point can be considered as the barycenter of the interpolation points where the used weights are inversely proportional to the distance between the considered point and the given interpolation points. In our method, denoted by IDW-G, the geodesic distance on the Grassmann manifold replaces the euclidean distance in the standard framework of euclidean spaces. The advantage of our algorithm that we show the convergence undersome general assumptions, does not require a reference point unlike the method of Amsallem-Farhat. Moreover, to carry out this, we finally proposed a direct method, thanks to the notion of generalized barycenter instead of an earlier iterative method. However, our IDW-G algorithm depends on the choice of the used weighting coefficients. The second work deals with an optimal choice of the weighting coefficients, which take into account of the spatial autocorrelation of all interpolation points. Thus, each weighting coefficient depends of all interpolation points an not only on the distance between the considered point and the interpolation point. It is a grassmannian version of the Kriging method, widely used in Geographic Information System (GIS). Our grassmannian Kriging method require also the choice of a reference point. In our last work, we develop a grassmannian version of Neville's method which allow the computation of the Lagrange interpolation polynomial in a recursive way via the linear interpolation of two points. The generalization of this algorithm to grassmannian manifolds is based on the extension of interpolation of two points (geodesic/straightline) that we can do explicitly. This algorithm does not require the choice of a reference point, it is easy to implement and very quick. Furthermore, the obtained numerical results are notable and better than all the algorithms described in this dissertation.


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