Contributions à l'étude des sous-variétés aléatoires

Contributions to the study of random submanifolds

• Auteur / Autrice : Thomas Letendre
• Direction : Damien Gayet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/11/2016
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Xiaonan Ma
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Damien Gayet, Nalini Anantharaman, Christophe Garban, Catriona Maclean
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Xiaonan Ma, Steven Zelditch

Mots clés

Mots clés contrôlés

Euler-Poincaré, Caractéristique d'

Riemann, Variétés de

Sous-variétés (mathématiques)

Bergman, Noyaux de

Mots clés libres

Volume

Caractéristique d’Euler

Sous-variétés aléatoires

Ondes riemanniennes aléatoires

Polynômes aléatoires

Variété projective réelle

Formule de Kac–Rice

Noyau de Bergman

Volume

Euler characteristic

Random submanifolds

Riemannian random waves

Random polynomials

Real projective manifold

Kac–Rice formula

Bergman kernel

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions le volume et la caractéristique d'Euler de sous-variétés aléatoires de codimension r ∈ {1, . . . , n} dans une variété ambiante M de dimension n. Dans un premier modèle, dit des ondes riemanniennes aléatoires, M est une variété riemannienne fermée. Nous considérons alors le lieu Zλ des zéros communs de r combinaisons linéaires aléatoires indépendantes de fonctions propres du laplacien associées à des valeurs propres inférieures à λ 0. Nous obtenons alors les asymptotiques du volume moyen et de la caractéristique d'Euler moyenne de Zλ lorsque λ tend vers l'infini. Dans un second modèle, M est le lieu réel d'une variété projective définie sur les réels. On s'intéresse dans ce cadre au lieu d'annulation réel Zd d'une section holomorphe réelle globale aléatoire de E⊗Ld, où E est un fibré hermitien de rang r, L est un fibré en droites hermitien ample et tous deux sont définis sur les réels. Nous estimons alors les moyennes du volume et de la caractéristique d'Euler de Zd quand d tend vers l'infini. Dans ce modèle algébrique réel, nous calculons aussi l'asymptotique de la variance du volume de Zd pour 1 r < n. Nous en déduisons, dans ce cas, des résultats asymptotiques d'équidistribution de Zd dans M

We study the volume and Euler characteristic of codimension r ∈ {1, . . . , n} random submanifolds in a dimension n manifold M. First, we consider Riemannian random waves. That is M is a closed Riemannian manifold and we study the common zero set Zλ of r independent random linear combinations of eigenfunctions of the Laplacian associated to eigenvalues smaller than λ 0. We compute estimates for the mean volume and Euler characteristic of Zλ as λ goes to infinity. We also consider a model of random real algebraic manifolds. In this setting, M is the real locus of a projective manifold defined over the reals. Then, we consider the real vanishing locus Zd of a random real global holomorphic section of E ⊗ Ld, where E is a rank r Hermitian vector bundle, L is an ample Hermitian line bundle and both these bundles are defined over the reals. We compute the asymptotics of the mean volume and Euler characteristic of Zd as d goes to infinity. In this real algebraic setting, we also compute the asymptotic of the variance of the volume of Zd, when 1 r < n. In this case, we prove asympotic equidistribution results for Zd in M