Estimation du maximum de vraisemblance dans les modèles de Markov partiellement observés avec des applications aux séries temporelles de comptage

Maximum likelihood estimation in partially observed Markov models with applications to time series of counts

• Auteur / Autrice : Tepmony Sim
• Direction : François Roueff, Randal Douc
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Signal et images
• Date : Soutenance le 08/03/2016
• Etablissement(s) : Paris, ENST
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Traitement et communication de l'information (Paris ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Valentine Genon-Catalot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Robin, Philippe Soulier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Le Gland, Jean-Michel Zakoian

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie ergodique

Markov, Processus de

Séries chronologiques

Mots clés libres

Maximum de vraisemblance

Consistance

Ergodicité

Modèles de Markov cachés

Modèles de Markov partiellement observés

Modèles guidés par l'observation

Séries temporelles de comptage

Maximum likelihood

Consistency

Ergodicity

Hidden Markov models

Partially observed Markov models

Observation-driven models

Time series of counts

Résumé

L'estimation du maximum de vraisemblance est une méthode répandue pour l'identification d'un modèle paramétré de série temporelle à partir d'un échantillon d'observations. Dans le cadre de modèles bien spécifiés, il est primordial d'obtenir la consistance de l'estimateur, à savoir sa convergence vers le vrai paramètre lorsque la taille de l'échantillon d'observations tend vers l'infini. Pour beaucoup de modèles de séries temporelles, par exemple les modèles de Markov cachés ou « hidden Markov models »(HMM), la propriété de consistance « forte » peut cependant être dfficile à établir. On peut alors s'intéresser à la consistance de l'estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) dans un sens faible, c'est-à-dire que lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini, l'EMV converge vers un ensemble de paramètres qui s'associent tous à la même distribution de probabilité des observations que celle du vrai paramètre. La consistance dans ce sens, qui reste une propriété privilégiée dans beaucoup d'applications de séries temporelles, est dénommée consistance de classe d'équivalence. L'obtention de la consistance de classe d'équivalence exige en général deux étapes importantes : 1) montrer que l'EMV converge vers l'ensemble qui maximise la log-vraisemblance normalisée asymptotique ; et 2) montrer que chaque paramètre dans cet ensemble produit la même distribution du processus d'observation que celle du vrai paramètre. Cette thèse a pour objet principal d'établir la consistance de classe d'équivalence des modèles de Markov partiellement observés, ou « partially observed Markov models » (PMM), comme les HMM et les modèles « observation-driven » (ODM).

Maximum likelihood estimation is a widespread method for identifying a parametrized model of a time series from a sample of observations. Under the framework of well-specified models, it is of prime interest to obtain consistency of the estimator, that is, its convergence to the true parameter as the sample size of the observations goes to infinity. For many time series models, for instance hidden Markov models (HMMs), such a “strong” consistency property can however be difficult to establish. Alternatively, one can show that the maximum likelihood estimator (MLE) is consistent in a weakened sense, that is, as the sample size goes to infinity, the MLE eventually converges to a set of parameters, all of which associate to the same probability distribution of the observations as for the true one. The consistency in this sense, which remains a preferred property in many time series applications, is referred to as equivalence-class consistency. The task of deriving such a property generally involves two important steps: 1) show that the MLE converges to the maximizing set of the asymptotic normalized loglikelihood; and 2) show that any parameter in this maximizing set yields the same distribution of the observation process as for the true parameter. In this thesis, our primary attention is to establish the equivalence-class consistency for time series models that belong to the class of partially observed Markov models (PMMs) such as HMMs and observation-driven models (ODMs).