Résolution de systèmes de deux équations quadratiques

Effective Hasse principle for two quadrics

• Auteur / Autrice : Tony Quertier
• Direction : Denis Simon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2016
• Etablissement(s) : Caen
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale structures, informations, matière et matériaux (Caen ; 1992-2016)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Normandie Université (2015-....)
• Jury : Président / Présidente : Jérôme Poineau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Denis Simon, Jérôme Poineau, Tom Quertier, David Harari, Michael Stoll, Olivier Wittenberg, Daniel Juteau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David Harari, Michael Stoll

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation diophantienne

Algorithmes

Géométrie algébrique arithmétique

Théorie algorithmique des nombres

Thèses et écrits académiques

Formes quadratiques

Résumé

Soient q0 et q1 deux formes quadratiques homogènes, à coefficients entiers, à n variables. Notons Vq0,q1 la variété projective définie par l’intersection des deux quadriques associées à q0 et q1. En 1959, Mordell a démontré le principe de Hasse pour n ≥ 13, puis en 1964 Swinnerton-Dyer l’a démontré pour n ≥ 11. En 2006, Wittenberg réussit à améliorer ce résultat dans sa thèse, en prouvant que, si l’on suppose l’hypothèse de Schinzel et la finitude des groupes de Tate-Shafarevich alors le principe de Hasse est vrai pour n ≥ 6. Dans cette thèse, nous allons étudier si la variété Vq0,q1 a des points sur le corps des réels et sur les corps p-adiques. Si c’est le cas, nous proposons différents algorithmes pour calculer explicitement une solution rationnelle de q0 =q1 =0.

Let q0 and q1 be two homogenous quadratic forms, with integral coeffi- cients, in n variables. Denote by Vq0,q1 the projective variety defined by the intersection of the quadrics associated to q0 and q1. In 1959, Mordell proved that the Hasse principle holds for n ≥ 13, then in 1964 Swinnerton-Dyer proved it for n ≥ 11. In 2006, Wittenberg improved this result in his the- sis, proving that, if we assume Schinzel’s hypothesis and finiteness of the Tate-Shafarevich groups then the Hasse principle holds for n ≥ 6. In this thesis, we study if the variety Vq0,q1 has some points over number real field and p-adic fields. If so, we give different algorithmes to compute explicitly a rational solution of q0 = q1 = 0.