Interacting processes and random environments

• Auteur / Autrice : Daniel Kious
• Direction : Michel Ledoux, Pierre Tarrès
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2014
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Marches aléatoires (mathématiques)

Ensembles aléatoires

Mots clés libres

Renforcement

Localisation

Marches aleatoires en milieux aleatoires

Ellipticite

Ballisticite

Apprentissage par renforcement

Reseaux sociaux

Algorithmes stochastiques

Résumé

Les processus inter-agissants et les environnements aleatoires sont les objets centraux de cette these, qui s'articule autour de trois travaux. Nous nous interessons d'abord a une conjecture d'Erschler, Toth et Werner sur un modele de marches aleatoires auto-interagissantes sur la droite des entiers, appelees les Stuck Walks, mêlant repulsion des arêtes voisines et attraction des arêtes voisines des voisines. Nous demontrons que ces marches se localisent presque surement sur des intervalles arbitrairement grands, dont la taille depend de la valeur d'un certain parametre. Nous presentons ensuite un travail en collaboration avec A. Fribergh dans lequel nous etudions des marches aleatoires en milieux aleatoires. Il est connu que ces marches peuvent être transientes dans une direction donnee mais non-ballistiques, ralenties par la presence de pieges dans leur environnement. Dans cet article, nous cherchons a montrer que les pieges typiques sont des hypercubes unite. Nous enoncons un critere d'ellipticite garantissant la ballisticite d'une marche aleatoire en milieu aleatoire transiente dans une direction donnee. D'autre part, nous demontrons que si le temps de sortie moyen d'un hypercube unite est infini, alors la marche a une vitesse asymptotique nulle. Enfin, la derniere partie est issue d'un travail en collaboration avec P. Tarres. Nous proposons un modele de creation de reseaux sociaux base sur l'apprentissage par renforcement. Nous demontrons que le taux de communication moyen augmente en moyenne, donc converge, et qu'un graphe limite apparaît. Nous montrons egalement que les configurations stables sont des graphes dont les composantes connexes sont en forme d'etoile. Reciproquement, nous prouvons que tout graphe ayant la propriete precedente, et dans lequel aucun sommet n'est isole, est une configuration limite avec probabilite strictement positive.

Interacting processes and random environments are the main focus of this thesis, which consists of three different works. First, we study a conjecture of Erschler, Toth and Werner about a model of interacting random walks on the integer line, called Stuck Walks, for which there is competition between repulsion from the neighbouring edges and attraction from the next-to-neighbouring edges. We prove that these walks localize on arbitrarily large intervals, the size of which depends on the value of some parameter. Second, we present a joint work with A. Fribergh in which we study some random walks in random environments. It is already known that such walks can be directionally transient without being ballistic, because of traps slowing down the walker. In this article, we aim to show that typical traps are unit hypercubes. We prove an ellipticity criterion which implies ballisticity of random walks in random environments that are directionally transient. This criterion deals with the expected exit time of a unit hypercube. We also show that if the annealed expected exit time of a unit hypercube is infinite then the walk has zero asymptotic velocity. Finally, in a joint work with P. Tarres, we propose a model of social network formation based on reinforcement learning. We prove that the expected rate of communication increases in average and thus converges almost surely, and that a limit graph emerges. We show that stable configurations for this graph consist of star-shaped connected components with uniform weights. Conversely, any graph correspondence with the preceding property, and within which every vertex is connected to at least another one, is a limit configuration with positive probability.