Marches au hasard sur des graphes géométriques aléatoires engendrés par des processus ponctuels

• Auteur / Autrice : Arnaud Rousselle
• Direction : Pierre Calka, Jean-Baptiste Bardet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2014
• Etablissement(s) : Rouen
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences physiques mathématiques et de l'information pour l'ingénieur (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; ....-2016)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; 2000-...)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Géométrie stochastique

Graphes aléatoires

Voronoi, Polygones de

Ensembles aléatoires

Probabilités géométriques

Marches aléatoires (mathématiques)

Mots clés libres

Triangulation de Delaunay

Graphe de Gabriel

Transience

Récurrence

Résumé

Les marches aléatoires sur des graphes aléatoires plongés dans Rd apparaissent naturellement dans de nombreux problèmes issus de la mécanique statistique tels que la description de flux, de diffusions de molécules ou de chaleur dans des milieux aléatoires et irréguliers. L’idée générale est d’étendre des résultats connus sur la grille Zd ou des perturbations aléatoires de celle-ci à des graphes engendrés par des processus ponctuels dans Rd. Dans cette thèse, on considère des marches au plus proche voisin sur des graphes dépendant de la géométrie d’un ensemble aléatoire et infini de points. Plus précisément, étant donnée une réalisation d’un processus ponctuel simple et stationnaire dans Rd, un graphe G, connexe, infini et localement fini, est construit. Ce graphe est ensuite muni éventuellement d’une fonction de conductance C, c’est-à-dire une fonction strictement positive définie sur son ensemble d’arêtes. Les exemples de graphes géométriques étudiés dans ce manuscrit sont la triangulation de Delaunay, le graphe de Gabriel, les creek-crossing graphs et le squelette de la mosaïque de Voronoï engendrés par le processus ponctuel. On étudie les propriétés la marche simple et la marche associée à la conductance C sur de tels graphes. Les principaux résultats portent sur la caractérisation de la récurrence ou de la transience presque sûre des marches aléatoires et sur la description de leurs limites diffusives. On montre que, sous des hypothèses convenables sur le processus ponctuel sous-jacent et la fonction de conductance, les marches aléatoires sur la triangulation de Delaunay, le graphe de Gabriel et le squelette de la mosaïque de Voronoï engendrés par presque toute réalisation de ce processus ponctuel sont récurrentes si d = 2 et transitoires si d ≥ 3. On établit aussi un principe d’invariance annealed (ou en moyenne) pour les marches simples partant de l’origine sur la triangulation de Delaunay et le graphe de Gabriel engendrés par les mesures de Palm de certains processus ponctuels ainsi qu’un principe d’invariance quenched (ou presque sûr) pour les marches simples sur des triangulations de Delaunay engendrées par des processus ponctuels. Cette thèse exploite à la fois des outils de géométrie aléatoire (processus ponctuels, mesures de Palm, mosaïques et graphes aléatoires. . . ) et de la théorie des marches aléatoires (liens avec les réseaux électriques, l’environnement vu par la particule).

Random walks on random graphs embedded in Rd appear naturally in problems arising from statistical mechanics such that the description of flows, molecules or heat diffusions in random and irregular environments. The general idea is to extend known results for random walks on Zd or on random perturbations of the grid to results for random walks on graphs generated by point processes in Rd. In this thesis, we consider nearest neighbor random walks on graphs depending on the geometry of a random infinite locally finite set of points. More precisely, given a realisation of a simple stationary point process in Rd, a connected infinite and locally finite graph G is constructed. This graph is then possibly equipped with a conductance function C, that is a positive function defined on its edge set. Examples of graphs studied in this manuscript are the Delaunay triangulation, the Gabriel graph, the creek-crossing graphs and the skeleton of the Voronoi tiling generated by the point process. We study properties of the simple random walk or of a random walk associated with the conductance C on such graphs. The main results concern the characterisation of the recurrence or transience of the random walks and the description of their diffusive scaling limits. Under suitable assumptions on the underlying point process and the conductance function, we show that the random walks on the Delaunay triangulation, the Gabriel graph and the skeleton of the Voronoi tiling generated by almost every realisation of the point process are recurrent if d = 2 and transient if d ≥ 3. We state an annealed invariance principle for simple random walks starting from the origin on the Delaunay triangulation, the Gabriel graph and the creek-crossing graphs generated by Palm measures of suitable point processes. Finally, we show a quenched invariance principle for simple random walks on random Delaunay triangulations. This thesis uses tools from both stochastic geometry (point processes, Palm measures, random graphs. . . ) and the theory of random walks (links with electrical networks theory, the environment seen from the particle,. . . ).