Théorie de contrôle et systèmes dynamiques

Control theory and dynamical systems

• Auteur / Autrice : Ayadi Lazrag
• Direction : Ludovic Rifford
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/09/2014
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné - McTAO / INRIA Sophia Antipolis
• Jury : Président / Présidente : Witold Respondek
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ludovic Rifford, Witold Respondek, Yacine Chitour, Anthony M. Bloch, Jean-Baptiste Pomet, Jean-Baptiste Caillau, Emmanuel Trélat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yacine Chitour, Anthony M. Bloch

Mots clés

Mots clés contrôlés

Flots géodésiques

Groupes symplectiques

Commande, Théorie de la

Mots clés libres

Théorie du contrôle géométrique

Application Entrée-Sortie

Contrôlabilité locale au second ordre

Système de contrôle bilinéaire

Groupe symplectique

Lemme de Franks

Flots géodésiques

Geometric control theory

End-Point Mapping

Local controllability at second order

Bilinear control system

Symplectic group

Franks' lemma

Geodesic flows

Résumé

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans la première partie, nous commençons par décrire des résultats très connus en théorie du contrôle géométrique tels que le théorème de Chow-Rashevsky, la condition de rang de Kalman, l'application Entrée-Sortie et le test linéaire. De plus, nous définissons et nous étudions brièvement la contrôlabilité locale au voisinage d'un contrôle de référence au premier et au second ordre. Dans la deuxième partie, nous donnons une preuve élémentaire du lemme de Franks linéaire pour les flots géodésiques qui utilise des techniques basiques de théorie du contrôle géométrique. Dans la dernière partie, étant donnée une variété Riemanienne compacte, nous prouvons un lemme de Franks uniforme au second ordre pour les flots géodésiques et on applique le résultat à la théorie de la persistance. Dans cette partie, nous introduisons avec plus de détails les notions de contrôlabilité locale au premier et au second ordre. En effet, nous donnons un résultat de contrôlabilité au second ordre dont la preuve est longue et technique.

This thesis is devided into three parts. In the first part we begin by describing some well known results in geometric control theory such as the Chow Rashevsky Theorem, the Kalman rank condition, the End-Point Mapping and the linear test. Moreover, we define and study briefly local controllability around a reference control at first and second order. In the second part we provide an elementary proof of the Franks lemma for geodesic flows using basic tools of geometric control theory. In the last part, given a compact Riemannian manifold, we prove a uniform Franks' lemma at second order for geodesic flows and apply the result in persistence theory. In this part we introduce with more details notions of local controllability at first and second order. In fact, we provide a second order controllability result whose proof is long and technical.