Différentielles de niveau supérieur et super singularité

Differentials of higher level and supersingularity

• Auteur / Autrice : Viviana Delanoy
• Direction : Bernard Le Stum
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Formes différentielles

Courbes elliptiques

Variétés abéliennes

Résumé

Dans un article récent Bernard Le Stum et Adolfo Quirós ont défini et étudié le faisceaudes différentielles invariantes de niveau supérieur. Ils ont entre autres constaté qu’encaratéristique 3, la dimension de ce faisceau sur une courbe elliptique est 2 si la courbeest ordinaire et 4 sinon. Dans ce travail nous généralisons ce résultat aux courbeselliptiques et au surfaces abéliennes en toute caractéristique. Nous prouverons qu’unecourbe ou une surface abélienne A sur un corps algèbriquement clos de caractéristiquepositive est supersingulière si et seulement si son faisceau des différentielles invariantesest de dimension 2dim(A). Nous montrerons également qu’à partir de la dimension 3,ce résultat est faux.

In a recent paper, Bernard Le Stum and Adolfo Quirós defined and studied the sheafof closed invariant differentials forms of higher level. Calculating its dimension overan elliptic curve in characteristic 3, they noticed that if the curve is ordinary, thenthat dinemsion is 2, and equals 4 otherwise. In this work, we will show that this resultholds for elliptic in positive characteristic, an elliptic curve or an abelian surface A issupersingular if and only if the dimension of its sheaf of closed invariant differentialsforms is twice the dimension of A. We will also show that in dimension 3 or more, thisresult is false. Différentielles de niveau supérieur et supersingularitéDifferentials of higher level and supersingularity