Graphes et couleurs : graphes arêtes-coloriés, coloration d'arêtes et connexité propre

Graphs and colors : edge-colored graphs, edge-colorings and proper connections

• Auteur / Autrice : Leandro Pedro Montero
• Direction : Yannis Manoussakis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 13/12/2012
• Etablissement(s) : Paris 11
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Informatique de Paris-Sud
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de recherche en informatique (Orsay, Essonne ; 1998-2020) - Laboratoire de Recherche en Informatique
• Jury : Président / Présidente : Alain Denise
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yannis Manoussakis, Alain Denise, Michel Habib, Mickaël Montassier, Dominique Barth, Marina Groshaus
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michel Habib, Mickaël Montassier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Graphes d'intersections, Théorie des

Graphes hamiltoniens

Coloriage de graphes

Mots clés libres

Graphes arêtes-coloriés

Connexité propre

Chaînes et cycles hamiltoniens propres

Coloration forte d'arêtes

Opérateur biclique

Edge-colored graphs

Proper connection

Proper hamiltonian paths and cycles

Strong edge-colorings

Iterated biclique graph

Résumé

Dans cette thèse nous étudions différents problèmes de graphes et multigraphes arêtes-coloriés tels que la connexité propre, la coloration forte d'arêtes et les chaînes et cycles hamiltoniens propres. Enfin, nous améliorons l'algorithme connu O(n⁴) pour décider du comportement d'un graphe sous opérateur biclique, en étudiant les bicliques dans les graphes sans faux jumeaux. Plus précisément, 1) Nous étudions d'abord le nombre k-connexité-propre des graphes, noté pc_k(G), ç'est à dire le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorer les arêtes d'un graphe de façon à ce qu'entre chaque paire de sommets, ils existent k chemins intérieurement sommet-disjoints. Nous prouvons plusieurs bornes supérieures pour pc_k(G). Nous énonçons quelques conjectures pour les graphes généraux et bipartis et nous les prouvons dans le cas où k = 1. 2) Nous étudions l'existence de chaînes et de cycles hamiltoniens propres dans les multigraphes arêtes-coloriés. Nous établissons des conditions suffisantes, en fonction de plusieurs paramètres tels que le nombre d'arêtes, le degré arc-en-ciel, la connexité, etc. 3) Nous montrons que l'indice chromatique fort est linéaire au degré maximum pour tout graphe k-dégénéré où, k est fixe. En corollaire, notre résultat conduit à une amélioration des constantes et donne également un algorithme plus simple et plus efficace pour cette famille de graphes. De plus, nous considérons les graphes planaires extérieurs. Nous donnons une formule pour trouver l'indice chromatique fort exact pour les graphes bipartis planaires extérieurs. Nous améliorons également la borne supérieure pour les graphes planaires extérieurs généraux. 4) Enfin, nous étudions les bicliques dans les graphes sans faux jumeaux et nous présentons ensuite un algorithme O(n+m) pour reconnaître les graphes convergents et divergents en améliorant l'algorithme O(n⁴).

In this thesis, we study different problems in edge-colored graphs and edge-colored multigraphs, such as proper connection, strong edge colorings, and proper hamiltonian paths and cycles. Finally, we improve the known O(n⁴) algorithm to decide the behavior of a graph under the biclique operator, by studying bicliques in graphs withoutfalse-twin vertices. In particular: 1) We first study the k-proper-connection number of graphs, this is, the minimum number of colors needed to color the edges of a graph such that between any pair of vertices there exist k internally vertex-disjoint paths. We denote this number pc_k(G). We prove several upper bounds for pc_k(G). We state some conjectures for general and bipartite graphs, and we prove all of them for the case k=1. 2) Then, we study the existence of proper hamiltonian paths and proper hamiltonian cycles in edge-colored multigraphs. We establish sufficient conditions, depending on several parameters such as the number of edges, the rainbow degree, the connectivity, etc. 3) Later, we showthat the strong chromatic index is linear in the maximum degree for any k-degenerate graph where k is fixed. As a corollary, our result leads to considerable improvement of the constants and also gives an easier and more efficient algorithm for this familly of graphs. Next, we consider outerplanar graphs. We give a formula to find exact strong chromatic index for bipartite outerplanar graphs. We also improve the upper bound for general outerplanar graphs from the 3∆-3 bound. 4) Finally, we study bicliques in graphs without false-twin vertices and then we present an O(n+m) algorithm to recognize convergent and divergent graphs improving the O(n⁴) known algorithm.