Applications de la théorie géométrique des invariants à la géométrie diophantienne

Applications of geometric invariant theory to diophantine geometry

• Auteur / Autrice : Marco Maculan
• Direction : Jean-Benoît Bost
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/12/2012
• Etablissement(s) : Paris 11
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Benoît Bost, Carlo Gasbarri, Damian Rossler, Antoine Chambert-Loir, Michaël Nakamaye
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Carlo Gasbarri, Damian Rossler

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation diophantienne

Mots clés libres

Théorie géométrique des invariants

Géométrie d'Arakelov

Approximation diophantienne

Théorie de Kempf-Ness

Geometric invariant theory

Arakelov geometry

Diophantine approximation

Kempf-Ness theory

Résumé

: La théorie géométrique des invariants constitue un domaine central de la géométrie algébrique d'aujourd'hui : développée par Mumford au début des années soixante, elle a conduit à des progrès considérables dans l'étude des variétés projectives, notamment par la construction d'espaces de modules. Dans les vingt dernières années des interactions entre la théorie géométrique des invariants et la géométrie arithmétique -- plus précisément la théorie des hauteurs et la géométrie d'Arakelov -- ont été étudiés par divers auteurs (Burnol, Bost, Zhang, Soulé, Gasbarri, Chen). Dans cette thèse nous nous proposons d'un côté d'étudier de manière systématique la théorie géométrique des invariants dans le cadre de la géométrique d'Arakelov ; de l'autre de montrer que ces résultats permettent une nouvelle approche géométrique (distincte aussi de la méthode des pentes développée par Bost) aux résultats d'approximation diophantienne, tels que le Théorème de Roth et ses généralisations par Lang, Wirsing et Vojta.

Geometric invariant theory is a central subject in nowadays' algebraic geometry : developed by Mumford in the early sixties, it enhanced the knowledge of projective varieties through the construction of moduli spaces. During the last twenty years, interactions between geometric invariant theory and arithmetic geometric --- more precisely, height theory and Arakelov geometry --- have been exploited by several authors (Burnol, Bost, Zhang, Soulé, Gasbarri, Chen). In this thesis we firstly study in a systematic way how geometric invariant theory fits in the framework of Arakelov geometry; then we show that these results give a new geometric approach to questions in diophantine approximation, proving Roth's Theorem and its recent generalizations by Lang, Wirsing and Vojta.