Distribution of rational points on certain del Pezzo surfaces

• Auteur / Autrice : Pierre Le Boudec
• Direction : Régis de La Bretèche
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Kloosterman, Sommes de

Points rationnels (géométrie)

Surfaces de Del Pezzo

Résumé

In this thesis, we are interested in counting rational points on certain algebraic varieties. A conjecture of Manin predicts precisely the asymptotic behaviour of the number of rational points of bounded height on Fano varieties. Our main goal is to prove Manin's conjecture for some examples of del Pezzo surfaces defined over Q. For this, we resort to universal torsors to parametrize the rational points and then we make use of various analytic number theory results, such as for instance the equidistribution of the values of certain divisor functions in arithmetic progressions. To begin with, we deal in a first part with the cases of three quartic del Pezzo surfaces, whose singularity types are respectively 3A1, A1+A2 and A3. Afterwards, we deal in a second part with the cases of two cubic surfaces, whose singularity types are respectively 2A2+A1 and D4. The former is only the third example of non-toric cubic surface for which Manin's conjecture is proved. Note in addition that the work about the latter improves on a result of Browning and answers a problem initially posed by Tschinkel. Finally, in an appendix, as another application of the equidistribution results mentioned above, we establish an asymptotic formula for the number of power-free values of the r variables polynomial t1⋯tr−1.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des problèmes de comptage de points rationnels sur certaines variétés algébriques. Une conjecture de Manin prévoit avec précision le comportement asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée sur les variétés de Fano. Notre but principal est de prouver la conjecture de Manin pour certains exemples de surfaces de del Pezzo définies sur Q. Pour cela, nous avons recours à des torseurs universels pour paramétrer les points rationnels et nous utilisons ensuite divers résultats de théorie analytique des nombres, tels que par exemple l'équidistribution des valeurs de certaines fonctions diviseur dans les progressions arithmétiques. Tout d'abord, nous traitons dans une première partie les cas de trois surfaces de del Pezzo de degré quatre, dont les types de singularité sont respectivement 3A1, A1+A2 et A3. Ensuite, nous traitons dans une seconde partie les cas de deux surfaces cubiques, dont les types de singularité sont respectivement 2A2+A1 et D4. Cette première est seulement le troisième exemple de surface cubique non-torique pour laquelle la conjecture de Manin est prouvée. Notons par ailleurs que le travail concernant cette dernière améliore un résultat de Browning et répond à un problème initialement posé par Tschinkel. Enfin, dans une annexe, comme autre application des résultats d'équidistribution mentionnés ci-dessus, nous établissons une formule asymptotique pour le nombre de valeurs sans puissance k ème du polynôme en r variables t1⋯tr−1.