Quelques modèles mathématiques homogénéisés appliqués à la modélisation du parenchyme pulmonaire

• Auteur / Autrice : Paul Cazeaux
• Direction : Céline Grandmont, Yvon Maday
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Son -- Propagation

Interaction fluide-structure

Modèles mathématiques

Poumon

Résumé

Nous présentons des modèles macroscopiques du comportement mécanique du parenchyme pulmonaire humain obtenus par homogénéisation double--échelle. Dans une première partie consacrée au couplage entre parenchyme et arbre bronchique, nous commençons par proposer un modèle de la déformation du parenchyme. Nous modélisons (i) le parenchyme par un matériau élastique linéaire, (ii) les alvéoles comme des cavités de taille epsilon réparties périodiquement dans le domaine macroscopique et (iii) l'arbre bronchique par un arbre dyadique résistif en supposant la loi de Poiseuille valide pour chaque voie aérienne. Nous obtenons en faisant tendre epsilon vers zéro, par homogénéisation, une description macroscopique du parenchyme comme un matériau viscoélastique, sous certaines conditions sur l’irrigation du domaine par l’arbre que nous étudions ensuite. L'arbre induit une dissipation non--locale en espace. Nous illustrons ces résultats par des résultats numériques. Dans une deuxième partie, nous étudions la propagation d'ondes sonores dans le parenchyme, sans prendre en compte l'arbre bronchique. Nous homogénéisons dans le domaine fréquentiel un premier modèle couplant l'élasticité linéarisée dans le parenchyme avec l'équation acoustique dans l'air. Nous déduisons une loi de comportement macroscopique élastique linéaire en dehors d’un ensemble de résonances. Ensuite, nous homogénéisons un deuxième modèle qui prend en compte le caractère viscoélastique et inhomogène du parenchyme au niveau microscopique. Le matériau macroscopique présente des effets de mémoire nouveaux par rapport aux composants microscopiques que nous étudions numériquement.

We present macroscopic models of the mechanical behavior of the human lung's parenchyma obtained by the two--scale homogenization method. The first part focuses on the coupling between parenchyma and bronchial tree. We begin by describing a model for the parenchyma deformation. We model (i) the parenchyma as a linear elastic material, (ii) the alveoli as periodically distributed cavities of size epsilon in the macroscopic parenchyma domain and (iii) the bronchial tree as a dyadic resistive tree. We obtain by homogenization when epsilon goes to zero a macroscopic description of the parenchyma as a viscoelastic material, under some conditions on the irrigation of the domain by the tree, which we study next. The tree induces a spatially non--local dissipation. We illustrate the previous work by numerical simulations. The second part focuses on the sound wave propagation in the parenchyma. We do not take into account the effect of the bronchial tree in this case. We homogenize in the frequency domain a first model coupling the linearized elasticity equations in the parenchyma and the acoustic equation in the air. We obtain a linearized elastic macroscopic behavior law away from a set of resonant frequencies. Then we homogenize a second model, which takes into account the viscoelastic and heterogeneous nature of the parenchyma at the microscopic level. The macroscopic material obtained exhibits some new memory effects compared to its individual components that we study numerically.