Quantification des sous-algèbres de Lie coisotropes

Quantization of coisotropic Lie subalgebras

• Auteur / Autrice : Jonathan Ohayon
• Direction : Gilles Halbout
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et modélisation
• Date : Soutenance le 09/07/2012
• Etablissement(s) : Montpellier 2
• Ecole(s) doctorale(s) : Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; École Doctorale ; 2009-2014)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : I3M - Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gilles Halbout, Pavel I. Etingof, David Hernandez, Benjamin Enriquez, Fabio Gavarini, Jean-michel Oudom, Alain Bruguières
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pavel I. Etingof, David Hernandez

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes quantiques

Poisson, Algèbres de

Lie, Algèbres de

Mots clés libres

Groupes quantiques

Bigèbres de Lie

Sous-algèbres de Lie coisotropes

Quantification universelle

Espaces de Poisson homogènes

Props

Quantum groups

Lie bialgebras

Coisotropic Lie subalgebras

Universal quantization

Homogeneous Poisson spaces

Props

Résumé

L’objet de cette thèse est l’étude de l’existence d’une quantification pour les sous-algèbres de Lie coisotropes des bigèbres de Lie. Une sous-algèbre de Lie coisotrope d’une bigèbre de Lie est une sous-algèbre de Lie qui est aussi un coidéal. Le problème de quantifications d’une sous-algèbre de Lie coisotrope fut posé par V. Drinfeld, lors de son étude de la quantification des espaces de Poisson homogènes G/C. Ces deux problèmes sont liés par le principe de dualité établi par N. Ciccoli et F. Gavarini. Dans cette thèse, nous cherchons à résoudre ce problème de quantification dans différents cadres. Premièrement, nous montrons qu’une quantification existe dans le cadre des bigèbres de Lie simple. Nous trouvons une quantification aux sous-algèbres de Lie coisotropes construites par M. Zambon. Puis nous établissons un lien entre ces quantifications et une classification des sous- algèbres coidéales à droite établie par I. Heckenberger et S. Kolb. Deuxièmement, nous trouvons une obstruction à la quantification universelle en utilisant une quantification d’ordre trois construite par V. Drinfeld. Nous montrons que cette obstruction disparait dans les exemples étudiés précédemment. Finalement, nous généralisons un résultat établi par P. Etingof et D. Kazhdan sur la quantification d’espaces de Poisson homogènes, liés aux sous-algèbres Lagrangiennes du double de Drinfeld.

The aim of this thesis is the study of quantization of coisotropic Lie subalgebras of Lie bialgebras.A coisotropic Lie subalgebra of a Lie bialgebra is a Lie subalgebra which is also a Lie coideal. The problem of quantization of coisotropic Lie subalgebra was set forth by V. Drinfeld, in his study of quantization of Poisson homogeneous spaces G/C. These problems are closely related to the duality principle established by N. Ciccoli and F. Gavarini.In this thesis, we search for an answer to this quantization problem in different settings. Firstly, we show that a quantization exists for simple Lie bialgebras by constructing a quantization of examples provided by M. Zambon. We then establish a link between the quantization which we constructed and a classification of subalgebras right coideals established by I. Heckenberger and S. Kolb. Secondly, we find an obstruction to the quantization in the universal setting by using a third-order quantization constructed by V. Drinfeld. We show that this obstruction vanishes in the examples studied earlier. Finally, we generalize a result of P. Etingof and D. Kazhdan on the quantization of poisson homogeneous spaces, linked to Lagrangian Lie subalgebras of Drinfeld's double.