Construction de déformations isomonodromiques par revêtements

Construction of isomonodromic deformations for coverings

• Auteur / Autrice : Karamoko Diarra
• Direction : Frank Loray
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces analytiques

Déformations isomonodromiques, Méthode des

Riemann, Surfaces de

Résumé

Le système de Garnier de rang N est un système d’équations différentielles non linéaires. Ses solutions locales, de dimension N, paramétrisent les déformations isomonodromiques d’équations différentielles scalaires d’ordre 2 sur la sphère de Riemann avec 2N + 3 singularités fuchsiennes (N+3 points singuliers essentiels et N points singuliers apparents). Ces solutions sont en générales très transcendantes, mais il possède aussi des solutions algébriques. Ces dernières apparaissent par exemple lorsque l’on déforme une équation scalaire à monodromie finie, ou pour certaines monodromies réductibles. On peut aussi construire des déformations isomonodromiques algébriques en tirant en arrière une équation fuchsienne fixée par une famille à N paramètres de revêtements ramifiés : c’est la méthode utilisée par Kitaev dans le cas N = 1, i. E. Pour l’équation de Painlevé VI. Nous classifions toutes les solutions algébriques obtenues par cette méthode pour N arbitraire, dont la monodromie n’est pas élémentaire (en particulier irréductible et infinie). Il n’y en a pas pour N supérieur ou égal à 4. Certaines de ces solutions sont calculées explicitement dans la dernière section. La méthode de Kitaev permet de construire des solutions algébriques incomplètes pour tout N (c’est à dire de dimension plus petite que N, la solution complète n’étant pas nécessairement algébrique) et aussi en genre quelconque. Dans le cas des connexions holomorphes de rang 2 sur les courbes de genre 2, nous classifions les déformations algébriques non élémentaires obtenue par cette méthode : elles sont toutes incomplètes, de dimension 1. Toujours dans ce cadre, nous étudions une famille de dimension 4 déformations à 2 paramètres obtenues à partir de solutions de systèmes de Garnier de rang N = 2. Cette famille, qui apparaît sur les courbes bi-elliptiques, est caractérisée en termes de monodromie.

Garnier system of rank N is a system of nonlinear differential equations. Local solutions of dimension N, parameterize the isomonodromic deformations of scalar differential equations of order 2 on the Riemann sphere with 2N + 3 Fuchsian singularities (N + 3 essential singular points and N singularities apparent). These solutions are in general very transcendent, but it also has algebraic solutions. They appear for example when a deformed scalar equation in finite monodromy, or for certain reducible monodromy. One can also construct algebraic isomonodromic deformations by pulling back a Fuchsian equation determined by a family of N parameters branched coverings : the method used by Kitaev in the case N = 1, ie for the equation of Painlevé VI. We classify all algebraic solutions obtained by this method for arbitrary N, the monodromy is not elementary (in particular irreducible and infinite). There is not for N greater than or equal to 4. Some of these solutions are calculated explicitly in the final section. Kitaev’s method allows the construction of incomplete algebraic solutions for any N (ie of dimension smaller than N, the solution is not necessarily algebraic) and also any genus. In the case of holomorphic connections of rank 2 on curves of genus 2, we classify non-elementary algebra deformations obtained by this method : they are all incomplete in one dimension. Also in this context, we study a family of four dimension 2-parameter deformations obtained from solutions of Garnier systems of rank N = 2. This family, which appears on bi-elliptic curves, is characterized in terms of monodromy.