Géométrie, topologie et optimisation des réseaux et structures cellulaires

Geometry, topology and optimization of networks and cellular materials

• Auteur / Autrice : Gérald Gurtner
• Direction : Jean-Marc Di Meglio, Marc Durand
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mécanique des fluides

Simulation par ordinateur

Systèmes hamiltoniens

Élasticité

Mousses (matériaux)

Résumé

Bien que de natures différentes, certains réseaux - électriques, thermiques, hydrauliques, mécaniques -possèdent au premier ordre des analogies formelles très fortes, qui permettent le traitement unifié de l'étude de leurs propriétés émergentes - conductivités, modules élastiques. À l'aide d'un principe variationnel, nous avons ainsi dérivé des bornes absolues portant sur ces propriétés, ainsi qu'un ensemble de conditions nécessaires et suffisantes, purement géométriques, pour qu'un réseau quelconque atteigne la borne et soit optimal. Grâce à celles-ci, nous avons trouvé plusieurs nouvelles structures optimales, en deux comme en trois dimensions. Dans une deuxième partie, grâce à un code numérique qui nous a permis aussi de vérifier les résultats précédents, nous avons caractérisé la transition entre mode de flexion et mode de compression qui existait dans un certain type de réseaux, les matériaux fibreux. En relation avec les conditions précédentes, nous avons aussi calculé analytiquement certaines quantités statistiques microscopiques de ces assemblages, qui pourraient servir à la compréhension du phénomène. D'autre part, toujours grâce au programme, nous avons montré dans les réseaux mécaniques que la variation de la raideur aux jonctions amenait à plusieurs transitions, avec des lois de puissance. Enfin, dans une dernière partie, nous avons montré qu'en partant de réseaux proches de l'optimum, on pouvait calculer analytiquement leurs caractéristiques macroscopiques en fonction de l'écart au réseau optimal, et qu'une nouvelle grandeur moyenne basée sur les conditions d'optimalité de la première partie semblait être pertinente pour quantifier cet écart.

Some particular networks of very different essences - electrical, thermal, fluidic, mecanic - exhibit, in a first approximation, some strong mathematical analogies, allowing us to conduct a common analysis of their emergent properties - electrical, thermal or fluidic conductivity, and elastic moduli. With a variationnal approach, we established absolute bounds on these quantifies as well as a set of geometrical necessary and sufficient conditions (NSC) to reach them. These conditions lead to new optimal structures, both in two and three dimensions. Thanks to a numerical program, which allowed us to verify these predictions, we then characterized the bending/streching transition which appears in fibrous networks. With the help of the NSC, we computed analytically some statistic, microscopic features of these networks, which might be of importance in the future to understand this phenomenon, as our analyze suggests it. Moreover, we used the programm to investigate the problem of the junctions' energy and showed the presence of several transitions, described by power laws. Finally, we calculated the macroscopic characteristics of some networks close to the optimality, and introduced a new average quantity based on the NSC which seemed to be of importance to quantify this deviation from optimality.