Schémas boîte hermitiens : algorithmes rapides pour la discrétisation des équations aux dérivés partielles
Auteur / Autrice : | Ali Abbas |
Direction : | Jean-Pierre Croisille |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques appliquées |
Date : | Soutenance le 09/11/2011 |
Etablissement(s) : | Metz |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : LMAM - Laboratoire de Mathémathiques et Applications de Metz - UMR 7122 (....-2012) |
Jury : | Président / Présidente : Paola Cinnella |
Examinateurs / Examinatrices : Olivier Botella, Bruno Depres, Vincent Giovangigli, Alain Lerat, Dong Ye |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Dans ma thèse, je présente un nouveau schéma aux différences d'ordre 4 pour le problème de Poisson dans un carré et dans un cube avec conditions limites de Dirichlet. Ce schéma généralise l'approche donnée par Croisille en Compting 2006. La conception du schéma est basée sur une formulation mixte combinant l'approximation de gradient par une dérivée hermitienne d'ordre 4 avec une formulation conservative discrète sur des boîtes de longueur 2h. L'étude comporte les deux aspects suivants.• Premièrement, montrer qu'une précision d'ordre 4 est obtenue pour les deux inconnues, la solution et son gradient.• Deuxièmement, donner un algorithme de résolution directe rapide basé sur la formule de Sherman-Morrison-Woodbury et la transformée en sinus rapide. Plusieurs résultats numériques montrent que la complexité algorithmique est en O(N^2 log_2 (N )) en dimension 2 et O(N^3 log_2 (N )) en dimension 3.De très bonnes performances de calcul ont été obtenues sur une machine de bureau. A titre d'exemple, un calcul sur un maillage 1024 × 1024 est effectué en moins de cinq secondes sur un PC ordinaire. Ce solveur sert de pré conditionnement des problèmes elliptiques non réguliers. Une autre application concerne les maillages cartésiens multiéchelle. Ce type de maillages permet une résolution locale également d'ordre 4 sur des zones raffinées. Le raffinement est récursif. Les schémas boîte sont actuellement de plus en plus étudiés. Ils sont étudiés par I. Greff en 2003 pour différents problèmes elliptiques avec les méthodes d'éléments finis. Ils ont été récemment étudié par J.B. Perot en 2007.Les perspectives principales de ce travail sont les suivantes :- Généralisation des schémas boîte sur une grille cartésienne à des problèmes avec obstacles.La méthode envisagée est de type “embedded boundary”.- Utilisation du schéma présenté pour des applications en physique des particules.L'opérateur de moyenne Π^0 f_{i,j} correspond à la charge électrique dans la boîte K_{i,j} . Le schéma sert dans ce cas à calculer le potentiel et le champ électromagnétique.- Utilisation du schéma pour des modèles complexes d'équations elliptiques, comme MEMS(Microelectromechanical Systems), travail récent des Prof. Ghoussoub, Ward, Lindsay, et des équations modélisant des streamers, projet actuel à CWI du Prof. Hundsdorfer