Modélisation de la dépendance et mesures de risque multidimensionnelles

Dependence modeling and multidimensional risk measures

• Auteur / Autrice : Éléna Di Bernardino
• Direction : Véronique Maume-Deschamps, Clémentine Prieur
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 08/12/2011
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences économiques et gestion (Lyon)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Sciences Actuarielle et Financière
• Jury : Président / Présidente : Anne-Laure Fougères
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gérard Biau, Claude Lefevre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Wenceslao González-Manteiga, Joahn Segers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ordres stochastiques

Dépendance (statistique)

Gestion du risque

Valeurs extrêmes, Théorie des

Mots clés libres

Théorie des valeurs extrêmes

Courbes de niveau pour fonctions de répartition

Théorie et gestion des risques

Copules et dépendance

Ordres stochastiques

Probabilités de dépassements

Theory of Extremes values

Level curves for distribution function

Theory of Risk

Copulas and dependence structures

Stochastic order

Peak over threshold method

Résumé

Cette thèse a pour but le développement de certains aspects de la modélisation de la dépendance dans la gestion des risques en dimension plus grande que un. Le premier chapitre est constitué d'une introduction générale. Le deuxième chapitre est constitué d'un article s'intitulant « Estimating Bivariate Tail : a copula based approach », soumis pour publication. Il concerne la construction d'un estimateur de la queue d'une distribution bivariée. La construction de cet estimateur se fonde sur une méthode de dépassement de seuil (Peaks Over Threshold method) et donc sur une version bivariée du Théorème de Pickands-Balkema-de Haan. La modélisation de la dépendance est obtenue via la Upper Tail Dependence Copula. Nous démontrons des propriétés de convergence pour l'estimateur ainsi construit. Le troisième chapitre repose sur un article: « A multivariate extension of Value-at-Risk and Conditional-Tail-Expectation», soumis pour publication. Nous abordons le problème de l'extension de mesures de risque classiques, comme la Value-at-Risk et la Conditional-Tail-Expectation, dans un cadre multidimensionnel en utilisant la fonction de Kendall multivariée. Enfin, dans le quatrième chapitre de la thèse, nous proposons un estimateur des courbes de niveau d'une fonction de répartition bivariée avec une méthode plug-in. Nous démontrons des propriétés de convergence pour les estimateurs ainsi construits. Ce chapitre de la thèse est lui aussi constitué d'un article, s'intitulant « Plug-in estimation of level sets in a non-compact setting with applications in multivariate risk theory», accepté pour publication dans la revue ESAIM:Probability and Statistics.

In this PhD thesis we consider different aspects of dependence modeling with applications in multivariate risk theory. The first chapter is constituted by a general introduction. The second chapter is essentially constituted by the article “Estimating Bivariate Tail: a copula based approach”, actually submitted for publication. It deals with the problem of estimating the tail of a bivariate distribution function. We develop a general extension of the POT (Peaks-Over-Threshold) method, mainly based on a two-dimensional version of the Pickands-Balkema-de Haan Theorem. The dependence structure between the marginals in the upper tails is described by the Upper Tail Dependence Copula. Then we construct a two-dimensional tail estimator and study its asymptotic properties. The third chapter of this thesis is based on the article “A multivariate extension of Value-at-Risk and Conditional-Tail-Expectation” and submitted for publication. We propose a multivariate generalization of risk measures as Value-at-Risk and Conditional-Tail-Expectation and we analyze the behavior of these measures in terms of classical properties of risk measures. We study the behavior of these measures with respect to different risk scenarios and stochastic ordering of marginals risks. Finally in the fourth chapter we introduce a consistent procedure to estimate level sets of an unknown bivariate distribution function, using a plug-in approach in a non-compact setting. Also this chapter is constituted by the article “Plug-in estimation of level sets in a non-compact setting with applications in multivariate risk theory”, accepted for publication in ESAIM: Probability and Statistics journal.