Sémantique algébrique des ressources pour la logique classique

Algebraic resource semantics for classical logic

• Auteur / Autrice : Novak Novakovic
• Direction : François Lamarche
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 08/11/2011
• Etablissement(s) : Vandoeuvre-les-Nancy, INPL
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire lorrain de recherche en informatique et ses applications
• Jury : Président / Présidente : Jean-Yves Marion
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Lamarche, Jean-Yves Marion, Yves Lafont, Lutz Strassburger, J. M. E. Hyland, Alessio Guglielmi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yves Lafont, Lutz Strassburger

Mots clés

Mots clés contrôlés

Logique mathématique

Langages de programmation -- Sémantique

Mots clés libres

Sémantique

Théorie de la démonstration

La logique classique

Logique catégorique

La sémantique catégorique

L'algèbre de Frobenius

Semantics

Proof theory

Classical logic

Categorical logic

Categorical semantics

Frobenius algebra

Résumé

Le thème général de cette thèse est l’exploitation de l’interaction entre la sémantique dénotationnelle et la syntaxe. Des sémantiques satisfaisantes ont été découvertes pour les preuves en logique intuitionniste et linéaire, mais dans le cas de la logique classique, la solution du problème est connue pour être particulièrement difficile. Ce travail commence par l’étude d’une interprétation concrète des preuves classiques dans la catégorie des ensembles ordonnés et bimodules, qui mène à l’extraction d’invariants significatifs. Suit une généralisation de cette sémantique concrète, soit l’interprétation des preuves classiques dans une catégorie compacte fermée où chaque objet est doté d’une structure d’algèbre de Frobenius. Ceci nous mène à une définition de réseaux de démonstrations pour la logique classique. Le concept de correction, l’élimination des coupures et le problème de la “full completeness” sont abordés au moyen d’un enrichissement naturel dans les ordres sur la catégorie de Frobenius, produisant une catégorie pour l'élimination des coupures et un concept de ressources pour la logique classique. Revenant sur notre première sémantique concrète, nous montrons que nous avons une représentation fidèle de la catégorie de Frobenius dans la catégorie des ensembles ordonnés et bimodules.

The general theme of this thesis is the exploitation of the fruitful interaction between denotational semantics and syntax. Satisfying semantics have been discovered for proofs in intuitionistic and certain linear logics, but for the classical case, solving the problem is notoriously difficult.This work begins with investigations of concrete interpretations of classical proofs in the category of posets and bimodules, resulting in the definition of meaningful invariants of proofs. Then, generalizing this concrete semantics, classical proofs are interpreted in a free symmetric compact closed category where each object is endowed with the structure of a Frobenius algebra. The generalization paves a way for a theory of proof nets for classical proofs. Correctness, cut elimination and the issue of full completeness are addressed through natural order enrichments defined on the Frobenius category, yielding a category with cut elimination and a concept of resources in classical logic. Revisiting our initial concrete semantics, we show we have a faithful representation of the Frobenius category in the category of posets and bimodules.