Etude spectrale des processus stationnaires multidimensionnels et analyse en composantes principales dans le domaine des fréquence

Spectral study of multidimensional stationary processes and principal component analysis in the frequency domain

• Auteur / Autrice : Emmanuel Nicolas Cabral
• Direction : Yves Romain, Alain Boudou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Statistiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stationnaires

Champs aléatoires

Théorie spectrale (mathématiques)

Échelle multidimensionnelle

Mots clés libres

Analyse en composantes principales

Fonction aléatoire stationnaire

Mesure aléatoire

Mesure spectrale produit tensoriel

Convolution de mesures

Groupe Abélien localement compact

Cyclostationnarité

Opérateur unitaire

Quasi-périodicité

Résumé

Les méthodes statistiques multidimensionnelles ont connu ces dernières décennies des développements très importants tant au niveau théorique (notamment en statistique opératorielle) qu'au niveau des applications (comme, par exemple, le traitement des données fonctionnelles). L'approche dans le domaine des fréquences (et de son outil majeur la transformée de Fourier) permet notamment d'envisager le traitement de fonctions aléatoires et de processus stochastiques particuliers (stationnaires par exemple). Dans l'étude d'un phénomène aléatoire pouvant être modélisé par un processus p-dimensionnel (Xt)t epsilon T, où chaque Xt est à valeurs dans Cp, il peut être intéressant, d'une part, de bien maîtriser les outils spectraux associés à (Xt)t epsilon T et, d'autre part, dans un but de clarification, d'obtenir un processus q-dimensionnel (q<p) résumant le mieux possible (Xt)t epsilon T en un certain sens. Les méthodes permettant de résumer une fonction aléatoire continue stationnaire p-dimensionnelle, définie sur T = Z, R, [-pi, pi[ où, plus généralement, sur un groupe abélien localement compact existent, elles s'appuient sur un critère étroitement lié à la stationnarité, leur mise en œuvre est l'Analyse en Composantes Principales (ACP) de la mesure aléatoire associée à (Xt)t epsilon T. Cette ACP, appelée aussi ACP dans le domaine des fréquences de (Xt)t epsilon T, consiste en l'ACP de chacune des composantes spectrales de (Xt)t epsilon T. Nous pouvons présenter nos contributions en les quatre points suivants: (i)Premièrement, il est bien connu qu'à tout processus stationnaire, on peut lui associer différents outils spectraux tels que la mesure aléatoire, la mesure spectrale à valeurs projecteurs et un opérateur unitaire. Nous réalisons alors un travail de synthèse sur les produits tensoriel et de convolution de mesures aléatoires et spectrales. Cet investissement permet de répondre, dans la pratique, à des problèmes d'interpolation, d'identification de processus spatial ou encore de transformations de Fourier inverses. (ii)Deuxièmement, étant donné un processus stationnaire périodique, on s'intéresse à la spécificité de ses outils spectraux. Nous définissons une notion de quasi-périodicité et quantifions la proximité entre les mesures aléatoires associées à un processus quasi-périodique et sa version périodique. . .

Multidimensional statistical methods knew in these last decades very important developments both for theoretical (particularly in operatorial statistics) and application fields, allowing functional data treatments. The frequency domain's field (and its important tool the Fourier transform) allows particularly to permit the treatment of random functions and particular stochastic processes (stationary for example). In the study of random phenomenons which can be modeled by a p-dimensional process (Xt)t epsilon T, where each X belongs to Cp, it should be interesting, in one hand, to control the spectral tools associated with (Xt)t epsilon T and, in other hand, to obtain, in view of clarification, a q-dimensional process (with q < p) which best summarizes as possible (Xt)t epsilon T in a certain sense. There exists methods which allow to summarize a p-dimensional stationary continuous random function, defined on T = Z, R, [-pi,pi[ or, more generally, on a locally compact Abélian group. They lean on a criterion strictly closed to stationarity and their implementation is the Principal Component Analysis (PCA) of random measure associated with (Xt)t epsilon T. This PCA, also called, PCA in the frequency domain of (Xt)t epsilon T, consists on the PCA of each spectral component of (Xt)t epsilon T. We can present our contributions in the following four points: At first, it is well known that any stationary process can be associated with various spectral tools such as the random measure, the spectral measure with projector values and a unitary operator. We carry out a synthetic work about tensor and convolution products of random and spectral measures. This investment allows to answer, in practice, to interpolation problems, to identification of a spatial process, or to inverse Fourier transform problem. Secondly, given a periodic stationary process, we are interested in the specificity of its spectral tools. We define a notion of quasi-periodicity and quantify the closeness between the associated random measures of a quasi-periodic process and its periodic version. We study then the proximity between the corresponding PCA's in the frequency domain. . .