Etude théorique et numérique de la déformation d'une interface séparant deux fluides non-miscibles à bas nombre de Mach

Title Theoretical and numerical study of a moving interface between two immiscible fluids at a low Mach number

• Auteur / Autrice : Yohan Penel
• Direction : Olivier Lafitte
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mach, Nombre de

Modèles mathématiques

Résumé

Résumé L’objectif de cette thèse est d’étudier un système modélisant l’évolution d’écoulements bi-fluides non miscibles dans un domaine borné, avec la perspective de mieux comprendre et de prédire le comportement de bulles dans les cœurs de réacteurs nucléaires. Ce système, appelé DLMN, est construit à partir des équations de Navier-Stokes sous l’hypothèse d’un nombre de Mach très faible. Dans le cadre d’études préliminaires, on établit des résultats d’existence et d’unicité de solutions pour des données initiales régulières (de type Sobolev) et pour différents systèmes d’équations aux dérivées partielles non-linéaires couplant équations hyperboliques, paraboliques et elliptiques. En particulier, dans le cas du modèle abstrait de vibration de bulles (Abv), on établit un certain nombre de propriétés vérifiées par les solutions, lesquelles sont explicitées en dimension 1. On s’attache ensuite à simuler ces solutions, en utilisant des schémas adaptés à la régularité des données. Pour le cas des données régulières, on construit un schéma d’ordre 2 inconditionnellement stable et basé sur la méthode des caractéristiques. En revanche, en présence de discontinuités, on associe un schéma non diffusif à un algorithme de raffinement adaptatif de maillage.

Abstract We aimed at studying non-miscible two-fluid flows in a bounded domain in order to better understand and to predict the overall process of bubbly flows in nuclear reactors. A system of PDEs has been derived from the Navier-Stokes equations under a low Mach number assumption and named DLMN. As a preliminary, we prove in this thesis existence and uniqueness results for two sets of PDEs endowed with smooth initial data (Sobolev spaces) and consisting of hyperbolic, parabolic and elliptic equations. In particular, we deal with an abstract bubble vibration model (Abv). In addition to the proof of the short time existence result, we show that there exist global solutions in dimension 1 no matter what smooth initial data. We also demonstrate several properties satisfied by potential solutions. We then carry out numerical simulations by means of an unconditionally stable second-order scheme based on the method of characteristics (for smooth solutions) or a coupling between an antidiffusive scheme and an adaptive mesh refinement algorithm (in case of discontinuities).