Multi-solitons for some supercritical nonlinear dispersive equations

Multi-solitons pour des équations dispersives non-linéaires surcritiques

• Auteur / Autrice : Vianney Combet
• Direction : Yvan Martel, Luc Robbiano
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Schrödinger, Équation de

Équations différentielles non linéaires -- Théorie asymptotique

Korteweg-de Vries, Équation de

Solitons

Mots clés libres

Stabilité

Résumé

Cette thèse a pour objet le comportement asymptotique de solutions d'équations aux dérivées partielles dispersives non-linéaires surcritiques. A travers deux exemples-type de telles équations, l'équation de Korteweg-de Vries généralisée (gKdV) et l'équation de Schrödinger non-linéaire (NLS), on traite de la convergence en temps grand des solutions vers des solitons (solutions particulières globales de l’équation), ou des sommes de soliton. Dans un premier temps, par une méthode de compacité, on obtient pour l'équation (gKdV) l'existence d'une solution convergeant vers un soliton mais n'étant pas un soliton, ce qui est une différence notable avec les cas sous-critique et critique. Puis, en utilisant une description du spectre de l'opérateur linéarisé autour d'un sol iton et une méthode de point fixe, nous obtenons l'existence d'une famille à un paramètre caractérisant complètement de telles solutions. En revenant à une méthode de compacité, nous arrivons dans un deuxième temps à obtenir un résultat similaire pour les multi-solitons de (gKdV), c'est-à-dire des solutions qui convergent vers une somme de solitons. Nous montrons que, étant donnés N solitons, il existe d'une part une famille à N paramètres de N-solitons, et que d'autre part cette famille caractérise tous les multi-solitons de (gKdV) surcritique. Ce résultat est à nouveau original par rapport aux cas sous-critique et critique, pour lesquels il y a existence et unicité des multi-solitons. Enfin, en adaptant les techniques précédentes à l'équation (NLS) surcritique, nous sommes en mesure de prouver un résultat similaire de multi-existence des multi-solitons.

This thesis deals with the asymptotic behavior of solutions of supercritical nonlinear dispersive partial differential equations. Through two typical examples of such equations, the generalized Korteweg-de Vries equation (gKdV) and the nonlinear Schrödinger equation (NLS), we study the convergence of solutions, when time goes to infinity, towards solitons (particular global solutions of the equation), or sums of solitons. First, by a compactness method, we obtain for the (gKdV) equation the existence of a solution converging to a soliton but not being a soliton, which is a notable difference with the subcritical and critical cases. Then, using a description of the spectrum of the linearized operator around a soliton and a fixed point method, we obtain the existence of a one-parameter family which completely characterizes all such solutions. Second, returning to a compactness method, we can obtain a similar result for the multi-solitons of (gKdV), i. E. Solutions which converge towards a sum of solitons. We show that, N solitons being given, there exists on the one hand an N-parameter family of N-solitons, and on the other hand that this family characterizes all multi­solitons of supercritical (gKdV). This result is also a new feature by comparison with the subcritical and critical cases, for which multi-solitons exist and are unique. Finally, adapting previous techniques to supercritical (NLS), we prove a similar result of mullti-existence of multi-solitons.