Contribution à l’étude des processus markoviens déterministes par morceaux : étude d’un cas-test de la sûreté de fonctionnement et problème d’arrêt optimal à horizon aléatoire

• Auteur / Autrice : Karen Gonzalez
• Direction : François Dufour, Benoîte de Saporta
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 03/12/2010
• Etablissement(s) : Bordeaux 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Tomas Prieto-Rumeau, Jérôme Saracco
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pierre-Etienne Labeau, Nikolaos Limnios

Mots clés

Mots clés contrôlés

Temps entre défaillances, Analyse des

Markov, Processus de -- Solutions numériques

Mots clés libres

Processus Markoviens Déterministes par Morceaux

Méthodes numériques

Fiabilité dynamique

Fonctionnelle d'un PDMP

Problème d'arrêt optimal

Quantification

Temps d'arrêt ε-optimal

Vitesse de convergence

Piecewise Deterministic Markov Processes

Numerical methods

Dynamic reliability

Functional of a PDMP

Optimal stopping problem

Quantization

Ε-optimal stopping time

Convergence rate

Résumé

Les Processus Markoviens Déterministes par Morceaux (PDMP) ont été introduits dans la littérature par M.H.A Davis comme une classe générale de modèles stochastiques. Les PDMP forment une famille de processus markoviens qui décrivent une trajectoire déterministe ponctuée par des sauts aléatoires. Dans une première partie, les PDMP sont utilisés pour calculer des probabilités d'événements redoutés pour un cas-test de la fiabilité dynamique (le réservoir chauffé) par deux méthodes numériques différentes : la première est basée sur la résolution du système différentieldécrivant l'évolution physique du réservoir et la seconde utilise le calcul de l'espérancede la fonctionnelle d'un PDMP par un système d'équations intégro-différentielles.Dans la seconde partie, nous proposons une méthode numérique pour approcher lafonction valeur du problème d'arrêt optimal pour un PDMP. Notre approche estbasée sur la quantification de la position après saut et le temps inter-sauts de lachaîne de Markov sous-jacente au PDMP, et la discréetisation en temps adaptée à latrajectoire du processus. Ceci nous permet d'obtenir une vitesse de convergence denotre schéma numérique et de calculer un temps d'arrêt ε-optimal.

Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMP's) have been introduced inthe literature by M.H.A. Davis as a general class of stochastics models. PDMP's area family of Markov processes involving deterministic motion punctuated by randomjumps. In a first part, PDMP's are used to compute probabilities of top eventsfor a case-study of dynamic reliability (the heated tank system) with two di#erentmethods : the first one is based on the resolution of the differential system giving thephysical evolution of the tank and the second uses the computation of the functionalof a PDMP by a system of integro-differential equations. In the second part, wepropose a numerical method to approximate the value function for the optimalstopping problem of a PDMP. Our approach is based on quantization of the post-jump location and inter-arrival time of the Markov chain naturally embedded in thePDMP, and path-adapted time discretization grids. It allows us to derive boundsfor the convergence rate of the algorithm and to provide a computable ε-optimalstopping time.