From triangulated categories to cluster algebras

Des catégories triangulées aux algèbres amassées

• Auteur / Autrice : Yann Palu
• Direction : Bernhard Keller
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Représentations d'algèbres

Calabi-Yau, Variétés de

Grothendieck, Groupes de

Catégories (mathématiques)

Résumé

Les algèbres amassées ont été introduites en 2001 par Fomin et Zelevinsky pour étudier, par une approche combinatoire, la base semi-canonique de Lusztig et la positivité totale. La théorie des représentations de carquois et d'algèbres de dimension finie permet de "catégorifier" certaines algèbres amassées. Le lien entre la catégorie et l'algèbre amassée se fait au moyen d'une application explicite, appelée caractère d'amas. Dans cette thèse, nous construisons un caractère d'amas associé à chaque objet amas-basculant d'une catégorie triangulée Hom-finie 2-Calabi-Yau. Lorsque la catégorie vérifie une certaine hypothèse de constructibilité, nous démontrons une formule de multiplication pour ce caractère d'amas, généralisant les formules de Caldero-Keller, Hubery et Xiao-Xu, et similaire à celle de Geiss-Leclerc-Schroer. Nous démontrons cette hypothèse dans le cas des catégories stables de catégories de Frobenius Hom-finies, ainsi que dans le cas des catégories amassées généralisées de Amiot. Nous étudions également le groupe de Grothendieck des catégories triangulées Hom-finies 2-Calabi-Yau admettant une sous-catégorie amas-basculante. Cela nous permet de donner une description K-théorique de la règle de mutation de Fomin et Zelevinsky, et de définir une règle de mutation généralisée pour les sous-catégories amas-basculantes.

Cluster algebras were introduced by Fomin and Zelevinsky in order to study the semi-canonical basis of Lusztig, and total positivity. The theory of representations of quivers and finite dimensional algebras can be used to categorify some cluster algebras. In order to recover the cluster algebra from the category which categorifies it, one needs a map called a cluster character. In this thesis, we construct a cluster character associated with any cluster tilting object of a 2-Calabi-Yau, Hom-finite triangulated category. Under some additional constructibility hypothesis, we prove a multiplication formula for this cluster character (similar to that of Geiss-Leclerc-Schroer), thus generalizing the formulae of Caldero-Keller, Hubery, Xiao-Xu. We prove that this hypothesis is satisfied by stable categories of Hom-finite Frobenius categories, and by the generalized cluster categories of Amiot. We also study the Grothendieck group of the 2-Calabi-Yau, Hom-finite triangulated categories which admit cluster tilting subcategories. This allows us to give a K-theoretical interpretation of the mutation rule of Fomin and Zelevinsky.