Etude du problème de Maxwell quasi-stationnaire par équations intégrales en champ couplées à une méthode par éléments finis

Study of quasi-stationary Maxwell’s problem with fields integral equations coupled to a finite elements method

• Auteur / Autrice : Fatiha Djehaf
• Direction : Bernard Bandelier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Foucault, Courants de

Analyse numérique

Intégrales

Maxwell, Équations de

Mots clés libres

Stratton-Chu

Méthode d'éléments finis

Résumé

Cette thèse porte sur la modélisation 3D des courants de Foucault dans un conducteur non simplement connexe. Le problème étant posé dans un domaine non borné, nous associons une méthode d’éléments finis à l’intérieur du conducteur et une méthode intégrale sur sa frontière. Habituellement, la méthode intégrale utilisée pour traiter ce problème implique la discrétisation d’un opérateur de Poincaré-Stecklov, ce qui est très lourd et ne permet pas facilement de considérer des conducteurs non simplement connexes. Nous choisissons donc de procéder différemment, en utilisant des représentations intégrales des champs analogues aux formules de Stratton-Chu, mais adaptées à l’approximation quasi stationnaire. Nous couplons une formulation variationnelle de ces représentations intégrales à une formulation élément finis dans le volume conducteur. Nous montrons que, dans le cadre fonctionnel que nous adoptons, H(rot) dans le volume , les espaces de traces tangentielles sur la frontière), le problème continu est bien posé. Nous présentons ensuite l’étude du problème discret pour des éléments finis de Nédélec d'ordre un. Nous montrons qu’il est bien posé et nous étudions une estimation de l’erreur a priori. Nous procédons ensuite à la validation du code, d’abord sur un problème simple dont la solution analytique est connue (sphère conductrice dans un champ magnétique homogène), puis sur un problème test international , le conducteur étant non simplement connexe, pour lequel nous disposons de résultats obtenus avec d’autres logiciels. Nous vérifions ainsi que notre code ne nécessite aucune adaptation pour les cas non simplement connexes et que nos résultats sont tout à fait satisfaisants.

This thesis concerns the modeling of eddy currents appearing in a not simply connected conductor (NSC) put in a not bounded domain. We associate a finite element method in the conductor and an integral method on its boundary. Usually, the integral method used for this problem implies to discretize a Poincaré-Stecklov’s operator; this is very heavy and does not easily permits to consider NSC. We therefore choose to use fields integral representations similar to Stratton-Chu’s formulas but adapted to the quasi-stationary approximation. We couple a variational formulation of these integral formulations to a finite element formulation in the conducting volume. We show that, in the used functional frame, (H(curl) in the volume and tangential traces spaces on the boundary), the continuous problem is well defined. We next present the discrete problem study with Nédélec’s finite elements of order 1. We show that it is well posed and we study an a priori estimation error. We next proceed to the code validation, first on a simple problem , the analytical solution of which is known (conducting sphere in an homogeneous magnetic field) and then on an international test problem, where the conductor is not simply connected and for which we have results obtained with other logicials. We so verify that our code does not need any adaptation for the not simply connected cases and that our results are quite satisfying.