Tresses, animaux, cartes : à l'interaction entre combinatoire et probabilité

Braids, animals, maps : some interactions between combinatorics and probability

• Auteur / Autrice : Marie Albenque
• Direction : Jean Mairesse, Jean-François Marckert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse combinatoire énumérative

Monoïdes

Markov, Processus de

Théorie des tresses

Probabilités combinatoires

Résumé

Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude de certains objets situés à l'interface entre combinatoire et probabilités. Le premier thème abordé est l'énumération des tresses. Notre contribution principale consiste en une extension de la théorie des empilements de Viennot pour les monoïdes de traces à un cadre plus général incluant notamment les monoïdes de Garside, ce qui conduit entre autres à des résultats d'énumération nouveaux pour les monoïdes de tresses. Le second volet de cette thèse est consacré au lien entre l'énumération d'animaux dirigés et les modèles de gaz à particules dures. La définition de chaînes de Markov cycliques et l'établissement de leur convergence vers les chaînes de Markov ordinaires nous permet de donner une présentation unifiée des résultats d'énumération d'animaux sur de nombreux réseaux et d'accéder ainsi à une meilleure compréhension de la dépendance des résultats d'énumération en la forme de la source. La troisième et dernière partie traite des triangulations et quadrangulations en pile, et plus précisément de leurs comportements limites lorsque le nombre de sommets tend vers l'infini. Les contributions principales sont les convergences locales et de Gromov-Hausdorff ainsi que l'asymptotique de la loi des degrés pour les cartes sous la loi uniforme et la convergence comme espace métrique sous la loi historique. Ces résultats reposent sur des outils combinatoires et probabilistes variés : bijection entre arbres et cartes, convergence vers l'arbre continu d'Aldous, étude probabiliste fine du comportement asymptotique de certaines fonctionnelles d'arbres, processus de fragmentation, modèle d'urnes aléatoires,. . .

We study in this work some objects lying on the boundary between combinatorics and probability. The first part deals with the enumeration of positive braids. Our most significant contribution here is an extension of Viennot's heaps of pieces theory to a wider frame which includes in particular Garside monoids, this leads to some new enumeration results for braid monoids. The second section is devoted to the link between enumeration of directed animals and hard particle gas models. The definition of cyclic Markov chains as well as some results about their convergence towards ordinary Markov chains enable us to give a unified presentation of enumeration of animals on various lattices and hence to provide a better understanding about the reliance between enumeration results and the form of the source. The third and last part deals with the stack triangulations and quadrangulations, and more precisely with their limiting behaviors when the number of vertices grows to infinity. The main contribution here are the local and Gromov-Hausdorff convergences and the asymptotic of the degree distribution for the maps under the uniform law and the convergence as metric space under the historical distribution. These results rely on numerous combinatorial and probabilistic tools: bijection between trees and maps, convergence towards Aldous' continuum random tree, subtle probabilistic study of some trees properties, fragmentation process, random urns model.