Reflected processes in finance and numerical probability : regularity and approximation of reflected BSDEs and pricing of american option in transaction cost model

• Auteur / Autrice : Jean-François Chassagneux
• Direction : Huyên Pham, Bruno Bouchard-Denize
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation numérique

Coût de transaction

Équations différentielles stochastiques -- Solutions numériques

Mathématiques financières

Résumé

Cette thèse se compose de deux parties indépendantes qui portent sur l'application des probabilités au champ de la finance. La première partie étudie la régularité des solutions de certains types d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) et réfléchies, ainsi que des schémas d'approximation numérique de ces solutions. En finance, l'application principale est le calcul du prix et de la couverture d'options américaines et d'options de jeu, mais nos travaux ne se limitent pas à ce cadre. La méthode systématique proposée est fondée sur l'étude d'équations qui ne sont réfléchies que sur une grille de temps discrète. En finance, ces équations s'interprètent comme des options bermudéennes. Dans un cadre général de domaines convexes multidimensionnels pouvant, sous certaines conditions, évoluer aléatoirement, nous obtenons des résultats de convergence et de régularité pour ces équations à réflexions discrètes que nous étendons aux EDSR réfléchies de manière continue. La seconde partie porte sur un problème théorique de finance mathématique. Nous y traitons de la valorisation d'options américaines dans le cadre des modèles de marché avec coûts de transaction proportionnels, à la fois pour le temps discret et pour le temps continu. Nous obtenons un théorème de sur-réplication pour ces actifs contingents dans le cadre très général de processus optionnels ladlag.

This PhD dissertation consists in two independent parts and deals with some applications of probabilites in finance. In the first part, we study the regularity of solutions of BSDEs with reflections and their associated approximation scheme. In finance, the main application is the pricing and hedging of American option and game option. The systematic method used here is based on the study of equations reflected on a discrete set of date. In finance, they represent bermuda options. In the general framework of multidimensional convex domain, moving randomly (under some conditions), we obtain regularity and convergence results for these discretely reflected equations. We extend then the results to the case of continuous reflection. In the second part of this thesis, we study the pricing of American option in a market with proportional transaction costs. We work both in the setting of discrete time and continuous time. We obtain a super-replication theorem for American contingent claim in the general framework of ladlag optional processes.