Sparse grid methods for option pricing

Méthodes numériques sur des grilles sparse appliquées à l'évaluation d'options en finance

• Auteur / Autrice : David Pommier
• Direction : Yves Achdou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés libres

Options sur panier

Options sur des processus a sauts avec volatilité stochastique

Equations aux derivées partielles en grande dimension

Méthodes numériques Sparse

Estimations d'erreur a posteriori

Options américaines

Résumé

Cette thèse regroupe plusieurs travaux relatifs à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles et d'équations intégro-différentielles issues de la modélisation stochastique de produits financiers. La première partie des travaux est consacrée aux méthodes de Sparse Grid appliquées à la résolution numérique d'équations en dimension supérieure à trois. Deux types de problèmes sont abordés. Le premier concerne l'évaluation d'options vanilles dans un modèle à sauts avec une volatilité stochastique multi-facteurs. La résolution numérique de l'équation de valorisation, posée en dimension est obtenue à l'aide d'une méthode de différences finies sparse et d'une méthode de collocation pour la discrétisation de l'opérateur intégral. Le second problème traite de l'évaluation de produits sur un panier de plusieurs sous-jacents. Il nécessite le recours à une méthode de Galerkin sur une base d'ondelettes obtenue à l'aide d'un produit tensoriel sparse La seconde partie des travaux concerne des estimations d'erreur a posteriori pour des options américaines sur un panier de plusieurs actifs

In this work, we present some numerical methods to approximate Partial Differential Equation(PDEs) or Partial Integro-Differential Equations (PIDEs) commonly arising in finance. This thesis is split into three part. The first one deals with the study of Sparse Grid techniques. In an introductory chapter, we present the construction of Sparse Grid spaces and give some approximation properties. The second chapter is devoted to the presentation of a numerical algorithm to solve PDEs on these spaces. This chapter gives us the opportunity to clarify the finite difference method on Sparse Grid by looking at it as a collocation method. We make a few remarks on the practical implementation. The second part of the thesis is devoted to the application of Sparse Grid techniques to mathematical finance. We will consider two practical problems. In the first one, we consider a European vanilla contract with a multivariate generalisation of the one dimensional Ornstein-Ulenbeck-based stochastic volatility model. A relevant generalisation is to assume that the underlying asset is driven by a jump process, which leads to a PIDE. Due to the curse of dimensionality, standard deterministic methods are not competitive with Monte Carlo methods. We discuss sparse grid finite difference methods for solving the PIDE arising in this model up to dimension 4. In the second problem, we consider a Basket option on several assets (five in our example) in the Black & Scholes model. We discuss Galerkin methods in a sparse tensor product space constructed with wavelets. The last part of the thesis is concerned with a posteriori error estimates in the energy norm for the numerical solutions of parabolic obstacle problems allowing space/time mesh adaptive refinement. These estimates are based on a posteriori error indicators which can be computed from the solution of the discrete problem. We present the indicators for the variational inequality obtained in the context of the pricing of an American option on a two dimensional basket using the Black & Scholes model. All these techniques are illustrated by numerical examples.