Contribution à l'étude mathématique et numérique des structures piézoélectriques en contact

Contribution to the mathematical and numerical study of contact of piezoelectric structures

• Auteur / Autrice : Youssef Ouafik
• Direction : Mircea Sofonea
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Perpignan
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Énergie environnement (Perpignan)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Frottement

Propriétés mécaniques

Propriétés électriques

Matériaux piézoélectriques

Résumé

Le sujet de cette thèse se situe à la frontière entre les mathématiques appliquées et la mécanique. Il s’agit d’étudier, sous un angle mathématique, des problèmes piézoélectriques, c’est à dire des problèmes couplant action mécanique et action électrique, en présence de contact et de frottement. On s'intéresse notamment à l'analyse variationnelle et numérique de ces problèmes. La thèse comporte quatre parties. La première partie contient l'ensemble des outils mathématiques, numériques et mécaniques nécessaires à une bonne compréhension du travail réalisé par la suite. La deuxième partie aborde deux problèmes statiques de contact frottant entre un corps électro-élastique et une fondation. Dans le cas des formulations primales des problèmes, nous prouvons l'existence, l'unicité, et la dépendance continue des solutions faibles, exprimées en termes de déplacements et de potentiel électrique. Une formulation duale équivalente au problème précédent, exprimée en termes de contraintes et de déplacement électrique, est étudiée pour laquelle des résultats d'existence et d'unicité sont établis. La troisième partie aborde deux modèles de contact piézoélectrique dans un cadre évolutif de type quasistatique. Pour chaque modèle, on présente un résultat d'existence. Dans la quatrième partie, le travail porte sur l'analyse numérique et les simulations par différences finies en temps (Euler impicite) et éléments finis en espace. Dans le cas statique, on traite un problème électro-élastique avec contact frottant de type compliance. Le problème discret est posé et les estimations a priori de l'erreur sont obtenues. Le problème est écrit sous forme d'un Lagrangien augmenté couplé à un algorithme de type Newton généralisé. S'ensuit une simulation numérique en dimension deux d'espace et des vérifications numériques de convergence. Des résultats similaires sont obtenus dans le cas d'un problème de contact quasistatique électro-viscoélastique.

The topic of this thesis belongs both to applied mathematics and mechanics. It deals with the mathematical study of piezoelectric problems, i. E problems including a coupling between mechanical and electrical actions, involving contact and friction. We study the variational and numerical analysis of these problems. The thesis is structured in four parts. The first one contains the background in Mathematics and Mechanics needed in the rest of the manuscript. The second part deals with two static frictional contact problems between an electro-elastic body and a foundation. We provide the existence, uniqueness and continuons dependence of the solution of the primal problems, formulated in terms of displacement and electric potential fields. A dual formulation, in terms of stress and electric displacement fields is studied too, for which existence and uniqueness results are presented, as well. The third part concern two models of quasistatic piezoelectric contact. For each model we present existence results. The fourth part deals with the numerical analysis and simulations obtained by using Euler scheme in time and finite elements in space. We consider a static electro-elastic problem with normal compliance and friction for which we provide error estimates. The problem is written in the form of an augmented Lagrangian algorithm coupled with a generalized Newton method. Some two-dimensional simulations are presented in order to recover the error estimates. Similar results are also presented in the study of a quasistatic electro-viscoelastic problem contact.